ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1352

**1)** $\lg\left(\frac{1}{2} + x\right) = \lg \frac{1}{2} - \lg x$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} \dfrac{1}{2} + x > 0, \\ x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -\dfrac{1}{2}, \\ x > 0 \end{cases} \implies x > 0 $$ Используем свойство логарифма разности $\lg a - \lg b = \lg\dfrac{a}{b}$ в правой части уравнения: $$ \lg\left(\frac{1}{2} + x\right) = \lg\left(\frac{\frac{1}{2}}{x}\right) $$ $$ \lg\left(\frac{1}{2} + x\right) = \lg\left(\frac{1}{2x}\right) $$ Потенцируя, приравняем выражения, стоящие под знаками логарифмов: $$ \frac{1}{2} + x = \frac{1}{2x} $$ Умножим обе части уравнения на $2x$ (так как по ОДЗ $x > 0$, то $2x \neq 0$): $$ x + 2x^2 = 1 $$ $$ 2x^2 + x - 1 = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение: $$ D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 = 3^2 $$ $$ x_1 = \frac{-1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$ $$ x_2 = \frac{-1 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1 $$ Проверим корни по ОДЗ ($x > 0$): * $x_1 = \frac{1}{2} > 0$ — корень удовлетворяет условию; * $x_2 = -1 < 0$ — посторонний корень. **Ответ:** $x = \frac{1}{2}$ --- **2)** $2 \lg x = -\lg \frac{1}{6 - x^2}$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x > 0, \\ \dfrac{1}{6 - x^2} > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0, \\ 6 - x^2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0, \\ x^2 < 6 \end{cases} \implies 0 < x < \sqrt{6} $$ Преобразуем обе части уравнения, используя свойства логарифмов $k \lg a = \lg a^k$: * для левой части: $2 \lg x = \lg (x^2)$; * для правой части: $-\lg \dfrac{1}{6 - x^2} = \lg \left(\dfrac{1}{6 - x^2}\right)^{-1} = \lg(6 - x^2)$. Уравнение принимает вид: $$ \lg(x^2) = \lg(6 - x^2) $$ Приравняем подлогарифмические выражения: $$ x^2 = 6 - x^2 $$ $$ 2x^2 = 6 $$ $$ x^2 = 3 $$ $$ x = \pm \sqrt{3} $$ Проверим корни по ОДЗ ($0 < x < \sqrt{6}$): * $x = \sqrt{3}$ входит в промежуток $(0; \sqrt{6})$ — подходит; * $x = -\sqrt{3} < 0$ — посторонний корень. **Ответ:** $x = \sqrt{3}$