Найдите какой-нибудь трёхзначный делитель числа 2^999 + 1.

Для решения воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. Заметим, что показатель степени $999$ делится на $3$: $999 = 3 \cdot 333$. Тогда исходное выражение можно записать как: $2^{999} + 1 = (2^{333})^3 + 1^3$ Применим формулу суммы кубов, где $a = 2^{333}$ и $b = 1$: $(2^{333})^3 + 1^3 = (2^{333} + 1)(2^{666} - 2^{333} + 1)$ Значит, число $2^{333} + 1$ является делителем нашего числа. Но $2^{333} + 1$ — это очень большое число. Нам нужно найти трёхзначный делитель. Давайте разложим $2^{333} + 1$ аналогичным образом, так как $333$ делится на $3$ ($333 = 3 \cdot 111$): $2^{333} + 1 = (2^{111})^3 + 1^3 = (2^{111} + 1)(2^{222} - 2^{111} + 1)$ Теперь число $2^{111} + 1$ является делителем. Снова применим формулу, так как $111$ делится на $3$ ($111 = 3 \cdot 37$): $2^{111} + 1 = (2^{37})^3 + 1^3 = (2^{37} + 1)(2^{74} - 2^{37} + 1)$ Осталось найти делитель числа $2^{37} + 1$. Так как $37$ — простое число, мы не можем разложить его по формуле суммы кубов. Но мы можем попробовать найти делитель для $2^n + 1$, если $n$ имеет нечетный делитель. В нашем случае $37$ — нечетное число, и делителем числа $2^{37} + 1$ является $2^1 + 1 = 3$ (что нам не подходит, так как нужно трехзначное число). Вернемся к выражению $2^{111} + 1$. У него есть делитель $2^{37} + 1$. Это тоже очень большое число. Попробуем другой подход. Число $2^{999} + 1$ также можно представить как $(2^9)^{111} + 1 = 512^{111} + 1$. Так как $111 = 3 \cdot 37$, то число $512^3 + 1$ является делителем. $512^3 + 1 = (512 + 1)(512^2 - 512 + 1) = 513 \cdot (512^2 - 512 + 1)$. Число $513$ — трёхзначное. Является ли оно делителем $2^{999} + 1$? Да, так как $513 = 27 \cdot 19 = 512 + 1 = 2^9 + 1$. А $2^9 + 1$ делит $2^{999} + 1$, так как $999$ делится на $9$. Ответ: 513