1.048. ☺ Пусть РАВС — тетраэдр. Постройте его сечение плоскостью α = (МЕК), если: а) точки М, К и Е принадлежат рёбрам соответственно РА, РВ и АС так, что АМ : МР = 3 : 1, ВК : КР = 1 : 2, АЕ : ЕС = 1 : 1; б) точки М и Е лежат на медианах РН и CF треугольников соответственно РАВ и РВС, а точка К — середина ребра РС.

Для построения сечения тетраэдра $PABC$ плоскостью, проходящей через точки $M, K, E$, нужно последовательно соединять точки, лежащие в одних и тех же гранях. ### а) Точки $M, K, E$ на рёбрах 1. Соединяем точки $M$ и $K$. Так как они лежат в грани $PAB$, отрезок $MK$ является стороной сечения. 2. Соединяем точки $K$ и $E$. Так как они лежат в грани $PBC$ (точка $K$ на $PB$, $E$ на $AC$ — здесь внимательно, $E$ на $AC$, значит $KE$ лежит в плоскости $PAC$ или другой? Проверим: $K$ на $PB$, $E$ на $AC$. Плоскость сечения $(MEK)$. 3. В грани $PAC$ у нас есть точки $M$ ($PA$) и $E$ ($AC$). Соединяем $M$ и $E$ — это еще одна сторона сечения. 4. Теперь у нас есть точки $M, K, E$. Чтобы найти четвертую точку, нужно продолжить отрезки до пересечения с другими ребрами. - Прямая $MK$ пересекает $AB$ (в плоскости $PAB$). - Прямая $ME$ пересекает $PC$ (в плоскости $PAC$). - Построив пересечение плоскости сечения с ребром $BC$ или $PC$, вы получите контур сечения. *Подсказка:* Обычно такие задачи решаются методом следов или методом внутренней проекции. Поскольку $M$ на $PA$, $K$ на $PB$, $E$ на $AC$, сечением будет многоугольник, проходящий через данные точки. ### б) Точки на медианах 1. $M$ лежит на медиане $PH$ треугольника $PAB$ ($H$ — середина $AB$). 2. $E$ лежит на медиане $CF$ треугольника $PBC$ ($F$ — середина $PB$). 3. $K$ — середина $PC$. Построение: 1. Точки $K$ и $E$ лежат в грани $PBC$. Соединяем их. 2. $K$ и $M$ лежат в разных плоскостях, нужно найти точки пересечения прямых с ребрами тетраэдра. 3. Используйте теорему Менелая или метод следов для поиска точек пересечения секущей плоскости с ребрами $AB, AC, BC$.