4. Вычислить (( (3^{-1/2} * 2^{-1/3}) / (3^{-3/4} * 2^{-5/6}) ) / (1/864)^{1/4})^2 * sqrt(2)

Для решения выражения выполним действия по порядку. 1. Преобразуем выражение в скобках: $((3^{-1/2} \cdot 2^{-1/3}) \div (3^{-3/4} \cdot 2^{-5/6})) \div (\frac{1}{864})^{1/4})^2 \cdot \sqrt{2}$ Выполним деление степеней с одинаковыми основаниями (вычитаем показатели): $3^{-1/2 - (-3/4)} = 3^{-2/4 + 3/4} = 3^{1/4}$ $2^{-1/3 - (-5/6)} = 2^{-2/6 + 5/6} = 2^{3/6} = 2^{1/2}$ Получаем: $(3^{1/4} \cdot 2^{1/2}) \div (\frac{1}{864})^{1/4})^2 \cdot \sqrt{2}$ 2. Преобразуем $(1/864)^{1/4}$: $864 = 864 = 27 \cdot 32 = 3^3 \cdot 2^5$. Однако удобнее заметить, что $864 = 3^3 \cdot 2^5 = 3^3 \cdot 2^2 \cdot 2^3$... нет, давайте проще: $864 = 3^3 \cdot 32 = 3^3 \cdot 2^5$. Вернемся к делению: $(3^{1/4} \cdot 2^{1/2}) \div (864^{-1})^{1/4} = (3^{1/4} \cdot 2^{1/2}) \div (3^3 \cdot 2^5)^{-1/4} = (3^{1/4} \cdot 2^{1/2}) \div (3^{-3/4} \cdot 2^{-5/4}) = 3^{1/4 - (-3/4)} \cdot 2^{1/2 - (-5/4)} = 3^{4/4} \cdot 2^{2/4 + 5/4} = 3^1 \cdot 2^{7/4}$ 3. Возводим в квадрат: $(3^1 \cdot 2^{7/4})^2 = 3^2 \cdot 2^{14/4} = 9 \cdot 2^{7/2} = 9 \cdot 2^3 \cdot 2^{1/2} = 9 \cdot 8 \cdot \sqrt{2} = 72\sqrt{2}$ 4. Умножаем на оставшийся множитель $\sqrt{2}$: $72\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 72 \cdot 2 = 144$ **Ответ: 144**