380 На сторонах AB, BC, CD и DA четырёхугольника ABCD отмечены соответственно точки M, N, P и Q так, что AM = CP, BN = DQ, BM = DP, NC = QA. Докажите, что ABCD и MNPQ — параллелограммы.

Для решения задачи воспользуемся признаками параллелограмма. **Дано:** Четырехугольник ABCD, на его сторонах отмечены точки: M на AB, N на BC, P на CD, Q на DA. Известно: $AM = CP$, $BN = DQ$, $BM = DP$, $NC = QA$. **Доказательство:** 1. Рассмотрим стороны $AB$ и $CD$. Так как точки M и P лежат на них, и $AM = CP$ (по условию), а также $BM = DP$ (по условию), то мы можем сложить отрезки: $AB = AM + MB$ $CD = CP + PD$ Так как $AM=CP$ и $MB=DP$ (заметим, что $BM=DP$ значит $DP=BM$), то $AB=CD$. 2. Аналогично, рассмотрим $BC$ и $DA$. Так как точки N и Q лежат на них, и $BN = DQ$, $NC = QA$ (по условию), то: $BC = BN + NC$ $DA = DQ + QA$ Так как $BN=DQ$ и $NC=QA$, то $BC = DA$. 3. Четырехугольник, у которого противоположные стороны равны ($AB=CD$ и $BC=DA$), является параллелограммом. Значит, **ABCD — параллелограмм**. 4. Так как ABCD — параллелограмм, его противоположные углы равны: $\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$. Также $AB = CD$ и $AD = BC$. 5. Рассмотрим треугольники $\triangle AMQ$ и $\triangle CPN$: - $AM = CP$ (по условию) - $AQ = NC$ (по условию) - $\angle A = \angle C$ (углы параллелограмма ABCD) Следовательно, $\triangle AMQ = \triangle CPN$ (по двум сторонам и углу между ними). Отсюда $MQ = PN$. 6. Рассмотрим треугольники $\triangle MBN$ и $\triangle PDQ$: - $MB = DP$ (по условию) - $BN = DQ$ (по условию) - $\angle B = \angle D$ (углы параллелограмма ABCD) Следовательно, $\triangle MBN = \triangle PDQ$ (по двум сторонам и углу между ними). Отсюда $MN = PQ$. 7. Мы доказали, что у четырехугольника MNPQ противоположные стороны равны ($MQ = PN$ и $MN = PQ$). Следовательно, **MNPQ — параллелограмм**.