74. Используя приём представления дробей в виде разности (см. упражнение 73), вычислите:

Для решения воспользуемся приемом разложения дроби вида $\frac{1}{n(n+1)}$ на разность: $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$. а) $\frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 7} = (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{6}) + (\frac{1}{6} - \frac{1}{7}) = \frac{1}{3} - \frac{1}{7} = \frac{7}{21} - \frac{3}{21} = \frac{4}{21}$. б) $\frac{1}{10 \cdot 11} + \frac{1}{11 \cdot 12} + \dots + \frac{1}{18 \cdot 19} + \frac{1}{19 \cdot 20} = (\frac{1}{10} - \frac{1}{11}) + (\frac{1}{11} - \frac{1}{12}) + \dots + (\frac{1}{19} - \frac{1}{20}) = \frac{1}{10} - \frac{1}{20} = \frac{2}{20} - \frac{1}{20} = \frac{1}{20}$. в) Заметим, что знаменатели можно представить как произведение: $1/2 = 1/(1 \cdot 2)$, $1/6 = 1/(2 \cdot 3)$, $1/12 = 1/(3 \cdot 4)$, $1/20 = 1/(4 \cdot 5)$. $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$. г) Заметим, что знаменатели можно представить как произведения двух множителей с разницей в 2: $1/3 = 1/(1 \cdot 3)$, $1/15 = 1/(3 \cdot 5)$, $1/35 = 1/(5 \cdot 7)$, $1/63 = 1/(7 \cdot 9)$, $1/99 = 1/(9 \cdot 11)$. Используем формулу $\frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2})$. $\frac{1}{2} ( (1 - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) + (\frac{1}{7} - \frac{1}{9}) + (\frac{1}{9} - \frac{1}{11}) ) = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{11}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{10}{11} = \frac{5}{11}$.