8.21. На рисунке 8.19 ΔABC = ΔA1B1C1, ∠DBC = ∠D1B1C1. Докажите, что ΔDBC = ΔD1B1C1.

Для решения задачи 8.21: Дано: $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$, $\angle DBC = \angle D_1B_1C_1$. Доказать: $\triangle DBC = \triangle D_1B_1C_1$. Доказательство: 1. Так как $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$, то у них равны соответствующие стороны и углы: $BC = B_1C_1$, $\angle C = \angle C_1$, $\angle B = \angle B_1$ (углы $ABC$ и $A_1B_1C_1$ целиком). 2. Нам дано $\angle DBC = \angle D_1B_1C_1$. 3. Рассмотрим $\triangle DBC$ и $\triangle D_1B_1C_1$: - $BC = B_1C_1$ (из равенства исходных треугольников); - $\angle C = \angle C_1$ (из равенства исходных треугольников); - $\angle DBC = \angle D_1B_1C_1$ (дано). 4. Следовательно, $\triangle DBC = \triangle D_1B_1C_1$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Для решения задачи 8.22: Дано: $\triangle MKO = \triangle MPO$. Доказать: $\triangle KOE = \triangle POE$. Доказательство: 1. Так как $\triangle MKO = \triangle MPO$, то равны соответствующие стороны и углы: $KO = PO$ и $\angle MOK = \angle MOP$. 2. Углы $MOK$ и $KOE$ — смежные, как и углы $MOP$ и $POE$. Значит, $\angle KOE = 180^\circ - \angle MOK$, а $\angle POE = 180^\circ - \angle MOP$. 3. Так как $\angle MOK = \angle MOP$, то и $\angle KOE = \angle POE$. 4. В $\triangle KOE$ и $\triangle POE$: - $KO = PO$ (из равенства $\triangle MKO$ и $\triangle MPO$); - $\angle KOE = \angle POE$ (доказано выше); - $OE$ — общая сторона. 5. Следовательно, $\triangle KOE = \triangle POE$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).