В треугольник вписана окружность. Найдите радиус r0 окружности, которая касается вписанной окружности и двух сторон треугольника.

Для решения задачи воспользуемся свойством: если две окружности с радиусами $R$ и $r$ ($R > r$) касаются друг друга и сторон одного и того же угла величиной $2̑$, то отношение их радиусов выражается через синус половинного угла: $\frac{r}{R} = \frac{1 - \sin ̑}{1 + \sin ̑}$. **Задание 3** 1. Найдём полупериметр $p = \frac{10 + 10 + 12}{2} = 16$. 2. Площадь по формуле Герона: $S = \sqrt{16 \cdot (16-10) \cdot (16-10) \cdot (16-12)} = \sqrt{16 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 4} = 4 \cdot 6 \cdot 2 = 48$. 3. Радиус вписанной окружности $R = \frac{S}{p} = \frac{48}{16} = 3$. 4. Найдём $\sin \frac{A}{2}$. Опустим высоту $BH$ на $AC$. $AH = \frac{12}{2} = 6$. $\cos A = \frac{AH}{AB} = \frac{6}{10} = 0,6$. По формуле половинного угла: $\sin \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos A}{2}} = \sqrt{\frac{1 - 0,6}{2}} = \sqrt{0,2}$. 5. Радиус малой окружности $r_0 = R \cdot \frac{1 - \sin(A/2)}{1 + \sin(A/2)} = 3 \cdot \frac{1 - \sqrt{0,2}}{1 + \sqrt{0,2}} = 3 \cdot \frac{(1 - \sqrt{0,2})^2}{1 - 0,2} = \frac{3 \cdot (1,2 - 2\sqrt{0,2})}{0,8} = 4,5 - 7,5\sqrt{0,2} = 4,5 - 1,5\sqrt{5}$. **Ответ:** $4,5 - 1,5\sqrt{5}$ **Задание 4** 1. Полупериметр $p = \frac{14 + 13 + 15}{2} = 21$. 2. Площадь: $S = \sqrt{21 \cdot (21-14) \cdot (21-13) \cdot (21-15)} = \sqrt{21 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 6} = \sqrt{3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 2^3 \cdot 2 \cdot 3} = 3 \cdot 7 \cdot 4 = 84$. 3. Радиус вписанной окружности $R = \frac{84}{21} = 4$. 4. Найдём $\cos A$ по теореме косинусов: $13^2 = 14^2 + 15^2 - 2 \cdot 14 \cdot 15 \cdot \cos A \Rightarrow 169 = 196 + 225 - 420 \cos A \Rightarrow 420 \cos A = 252 \Rightarrow \cos A = 0,6$. 5. Аналогично шагу 4 из предыдущей задачи: $\sin \frac{A}{2} = \sqrt{0,2}$. 6. Радиус малой окружности $r_0 = 4 \cdot \frac{1 - \sqrt{0,2}}{1 + \sqrt{0,2}} = 6 - 2\sqrt{5}$. **Ответ:** $6 - 2\sqrt{5}$