При какой массе груза m, закрепленного на невесомом блоке, возможно равновесие однородного рычага массы M, изображенного на рисунке? Штрихами рычаг делится на 7 равных фрагментов.

Для решения задачи воспользуемся правилом моментов сил относительно точки опоры рычага. Пусть $L$ — полная длина рычага. Рычаг разделен на 7 равных фрагментов, значит, длина одного фрагмента составляет $\frac{L}{7}$. 1. Определим положение центра тяжести рычага. Рычаг однородный, значит, центр тяжести находится в его геометрическом центре, то есть на расстоянии $\frac{L}{2}$ от левого края. Точка опоры находится между 3-м и 4-м фрагментами, если считать слева. По рисунку видим: слева от точки опоры 3 фрагмента, справа 4 фрагмента. Длина рычага слева $L_{лев} = 3 \cdot \frac{L}{7} = \frac{3}{7}L$. Длина рычага справа $L_{прав} = 4 \cdot \frac{L}{7} = \frac{4}{7}L$. Точка опоры находится на расстоянии $\frac{3}{7}L$ от левого края. Центр тяжести рычага находится на расстоянии $\frac{1}{2}L$ от левого края. Расстояние от точки опоры до центра тяжести (плечо силы тяжести рычага $d_M$): $d_M = \frac{1}{2}L - \frac{3}{7}L = \frac{7}{14}L - \frac{6}{14}L = \frac{1}{14}L$. Сила тяжести рычага $Mg$ направлена вниз и создает момент относительно опоры: $M_M = Mg \cdot \frac{1}{14}L$. 2. Определим силу, действующую на правый конец рычага. На правом конце рычага закреплен подвижный блок с грузом $m$. Нить проходит через блок, один конец закреплен в потолке, другой — на конце рычага. Сила натяжения нити $T$ уравновешивает груз $m$. На подвижный блок действуют две силы $T$ вверх и сила тяжести груза $mg$ вниз, но так как блок невесомый, $2T = mg$, откуда $T = \frac{mg}{2}$. Эта сила $T$ тянет конец рычага вверх. Длина плеча этой силы $d_m$ от точки опоры до правого конца рычага составляет $\frac{4}{7}L$. Момент этой силы: $M_m = \frac{mg}{2} \cdot \frac{4}{7}L = mg \cdot \frac{2}{7}L$. 3. Условие равновесия рычага: Моменты сил должны быть равны: $M_M = M_m$. $Mg \cdot \frac{1}{14}L = mg \cdot \frac{2}{7}L$. Сократим на $gL$: $\frac{M}{14} = \frac{2m}{7}$. $M = \frac{2m \cdot 14}{7} = 4m$. Отсюда $m = \frac{M}{4}$. Ответ: $m = 0,25M$.