cos 2x + sin 2x = 1

Для решения уравнения $\cos 2x + \sin 2x = 1$ воспользуемся методом введения вспомогательного угла или преобразованием суммы. Разделим обе части уравнения на $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$: $\frac{1}{\sqrt{2}} \cos 2x + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin 2x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ Применим формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$, учитывая, что $\cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$: $\sin \frac{\pi}{4} \cos 2x + \cos \frac{\pi}{4} \sin 2x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ $\sin(2x + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ Теперь решим простейшее тригонометрическое уравнение: 1) $2x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \Rightarrow 2x = 2\pi n \Rightarrow x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$ 2) $2x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n \Rightarrow 2x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \Rightarrow 2x = \frac{2\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ Ответ: $x = \pi n, x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.