sin^2 x + cos^2(x + pi/4) = 1/2 [13pi/2 ; 15pi/2]

Решим уравнение $\sin^2 x + \cos^2(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$. 1. Воспользуемся формулой понижения степени: $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$ и $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$. $\frac{1 - \cos 2x}{2} + \frac{1 + \cos(2x + \frac{\pi}{2})}{2} = \frac{1}{2}$ 2. Умножим всё на 2: $1 - \cos 2x + 1 + \cos(2x + \frac{\pi}{2}) = 1$ $2 - \cos 2x - \sin 2x = 1$ $\cos 2x + \sin 2x = 1$ 3. Разделим на $\sqrt{2}$: $\frac{1}{\sqrt{2}}\cos 2x + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin 2x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ $\cos(2x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 4. Найдем корни: $2x - \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ Случай 1: $2x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \Rightarrow 2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi n$ Случай 2: $2x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \Rightarrow 2x = 2\pi n \Rightarrow x = \pi n$ 5. Отберем корни на отрезке $[\frac{13\pi}{2}; \frac{15\pi}{2}]$, то есть $[6,5\pi; 7,5\pi]$: При $x = \pi n$: $6,5\pi \le \pi n \le 7,5\pi \Rightarrow n = 7$. $x = 7\pi$. При $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$: $6,5\pi \le \frac{\pi}{4} + \pi n \le 7,5\pi$ $6,25\pi \le \pi n \le 7,25\pi \Rightarrow n = 7$. $x = \frac{\pi}{4} + 7\pi = 7,25\pi = \frac{29\pi}{4}$. Ответ: $7\pi; \frac{29\pi}{4}$.