Задачи: 1) Можно ли заплатить без сдачи: а) 20 копеек семью монетами по 1, 5 и 10 копеек?

1) а) Да. Например: 10 + 5 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 20 (всего 7 монет). б) Нет. Если использовать $x$ монет по 5 коп. и $y$ монет по 1 коп., то $5x + y = 20$ и $x + y = 7$. Вычитая уравнения: $4x = 13$. Число $13$ на $4$ не делится, значит, целого решения нет. в) Нет. Если использовать $x$ монет по 5 коп. и $y$ монет по 1 коп., то $5x + y = 25$ и $x + y = 8$. Вычитая уравнения: $4x = 17$. Число $17$ на $4$ не делится, целого решения нет. 2) Да, верно. Если все числа нечетные, то их нечетное количество (7) в сумме с соседями дало бы нечетное число (нечетное + нечетное = четное, но при 7 числах по кругу где-то будет разрыв). Если есть хотя бы два четных числа, они могут стоять рядом или не рядом. Но рассмотрим четность чисел. Если есть хотя бы одно четное и одно нечетное, то по принципу Дирихле среди 7 чисел обязательно найдутся два соседних числа одной четности (ведь вариантов всего два: четное или нечетное, а позиций 7). Сумма двух чисел одной четности всегда четна. 3) Нет. Разложим 12345 на множители: $12345 = 5 \cdot 2469 = 5 \cdot 3 \cdot 823$. Заметим, что $12345$ делится на 5, значит, либо $(a+b)$, либо $a$, либо $b$ делится на 5. Если $a$ или $b$ кратно 5, то произведение кратно 25. Проверим делимость на 3: сумма цифр $1+2+3+4+5 = 15$, делится на 3. Значит число делится на 3. $(a+b)ab = 12345$. Это уравнение не имеет решений в целых числах, так как $12345$ не является полным кубом или произведением трех близких чисел. Проще: $12345 = 3 \cdot 5 \cdot 823$. Число 823 — простое. Произведение трех чисел не может дать простое число 823, если только два из них не равны $\pm 1$. Проверка показывает, что целых решений нет. 4) Нет. Обозначим количество ягод на кустах $x_1, x_2, ..., x_8$. Разность любых соседних равна 1, значит четность количества ягод чередуется: ч, н, ч, н, ч, н, ч, н. Всего 4 четных и 4 нечетных числа. Сумма 4 четных чисел — четная, сумма 4 нечетных — четная. Сумма четного и четного — четная. Значит, общая сумма должна быть четной. 25 — нечетное число, поэтому получить его нельзя. 5) Шахматная доска — это раскраска в два цвета (черный и белый). Конь всегда меняет цвет поля при ходе. За 1 ход он меняет цвет, за 2 — возвращается на прежний, за 3 — снова меняет и т.д. а) Нечетное число ходов (3) — конь будет на другом цвете. Нельзя. б) Четное число ходов (4) — конь будет на том же цвете, но может не вернуться на исходную клетку. Для возвращения на исходную клетку нужно четное число ходов. Но можно ли вернуться за 4? Да, можно. в) 2008 ходов — четное число. Можно. г) 2009 ходов — нечетное число. Нельзя.