Для решения задач на степени используем основные свойства:
1) $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$
2) $a^n : a^m = a^{n-m}$
3) $(a^n)^m = a^{n \cdot m}$
4) $(ab)^n = a^n b^n$, $(a/b)^n = a^n / b^n$
5) $a^{-n} = 1/a^n$
Решения:
**Без номера (вверху):**
1) $a^{-8} \cdot a^{12} = a^{4}$
2) $a^{7} \cdot a^{-11} = a^{-4} = 1/a^4$
3) $a^{-6} \cdot a^{10} \cdot a^{-20} = a^{-16} = 1/a^{16}$
4) $a^{-3} : a^5 = a^{-8} = 1/a^8$
5) $a^{-4} : a^{-12} = a^{8}$
6) $a^{17} \cdot a^{-23} : a^{-15} = a^{17-23-(-15)} = a^{9}$
7) $(a^{-4})^8 = a^{-32} = 1/a^{32}$
8) $(a^3)^{-7} \cdot (a^{-4})^{-5} : (a^{-5})^8 = a^{-21} \cdot a^{20} : a^{-40} = a^{-21+20+40} = a^{39}$
9) $(a^5 b^{-3} c^4)^{-10} = a^{-50} b^{30} c^{-40} = b^{30} / (a^{50} c^{40})$
10) $(a^2 b^{-3})^{-3} \cdot (a^{-4} b^{-9})^6 = a^{-6} b^9 \cdot a^{-24} b^{-54} = a^{-30} b^{-45} = 1 / (a^{30} b^{45})$
11) $(\frac{a^{12}b^{-4}}{c^5d^{-13}})^{-2} = \frac{a^{-24}b^8}{c^{-10}d^{26}} = \frac{b^8 c^{10}}{a^{24} d^{26}}$
12) $(\frac{a^7}{b^{-3}})^{-4} \cdot (\frac{a^{-3}}{b^9})^{-12} = (a^7 b^3)^{-4} \cdot (a^{-3} b^{-9})^{-12} = a^{-28} b^{-12} \cdot a^{36} b^{108} = a^8 b^{96}$
**52.**
1) $7^5 \cdot 7^{-7} = 7^{-2} = 1/49$
2) $10^{-12} \cdot 10^{15} = 10^3 = 1000$
3) $5^{-12} : 5^{-16} = 5^4 = 625$
4) $3^{-14} \cdot 3^{-19} : 3^{-34} = 3^{-33} : 3^{-34} = 3^1 = 3$
5) $(13^{-9})^4 \cdot (13^{-2})^{-18} = 13^{-36} \cdot 13^{36} = 13^0 = 1$
6) $\frac{2^{-4} \cdot (2^{-3})^5}{(2^{-8})^2 \cdot 2^{-3}} = \frac{2^{-4} \cdot 2^{-15}}{2^{-16} \cdot 2^{-3}} = \frac{2^{-19}}{2^{-19}} = 1$
**53.**
1) $27^{-3} : 81^{-2} = (3^3)^{-3} : (3^4)^{-2} = 3^{-9} : 3^{-8} = 3^{-1} = 1/3$
2) $\frac{(-36)^{-3} \cdot 6^4}{216^{-4} \cdot (-6)^9} = \frac{(-(6^2))^{-3} \cdot 6^4}{(6^3)^{-4} \cdot (-6^9)} = \frac{-6^{-6} \cdot 6^4}{6^{-12} \cdot (-6^9)} = \frac{-6^{-2}}{-6^{-3}} = 6^1 = 6$
3) $\frac{21^5 \cdot 3^{-7}}{63^{-2} \cdot 7^8} = \frac{(3 \cdot 7)^5 \cdot 3^{-7}}{(3^2 \cdot 7)^{-2} \cdot 7^8} = \frac{3^5 \cdot 7^5 \cdot 3^{-7}}{3^{-4} \cdot 7^{-2} \cdot 7^8} = \frac{3^{-2} \cdot 7^5}{3^{-4} \cdot 7^6} = 3^2 \cdot 7^{-1} = 9/7 = 1 \frac{2}{7}$
4) $\frac{(0,2)^{-6} \cdot 25^{-7}}{125^{-3}} = \frac{((1/5)^{-1})^{-6} \cdot (5^2)^{-7}}{(5^3)^{-3}} = \frac{5^6 \cdot 5^{-14}}{5^{-9}} = 5^{-8} \cdot 5^9 = 5^1 = 5$
**54.**
1) $\frac{1}{3} p^{-2} q^{-5} \cdot \frac{9}{5} p^6 q^3 = \frac{3}{5} p^4 q^{-2} = \frac{3 p^4}{5 q^2}$
2) $-0,4 b^{-3} c^7 \cdot 1,5 b^2 c^{-6} = -0,6 b^{-1} c^1 = -\frac{0,6 c}{b} = -\frac{3c}{5b}$
3) $0,45 m^{-3} n^2 p^{-4} \cdot 1\frac{1}{9} m^8 n^{-11} p^6 = \frac{45}{100} \cdot \frac{10}{9} m^5 n^{-9} p^2 = \frac{9}{20} \cdot \frac{10}{9} m^5 n^{-9} p^2 = 0,5 m^5 n^{-9} p^2 = \frac{m^5 p^2}{2 n^9}$
4) $5 a^{-6} \cdot (-3 a^{-2} b^3)^{-2} = 5 a^{-6} \cdot ((-3)^{-2} a^4 b^{-6}) = 5 a^{-6} \cdot \frac{1}{9} a^4 b^{-6} = \frac{5}{9} a^{-2} b^{-6} = \frac{5}{9 a^2 b^6}$
**55.**
1) $\frac{17 x^{-8}}{14 y^{-12}} \cdot \frac{28 y}{51 x^{-21}} = \frac{17 \cdot 28}{14 \cdot 51} \cdot \frac{x^{-8}}{x^{-21}} \cdot \frac{y}{y^{-12}} = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 3} \cdot x^{13} \cdot y^{13} = \frac{2}{3} x^{13} y^{13}$
2) $-1,6 m^{-4} n^3 \cdot (-2 m^{-3} p^{-6})^{-3} = -1,6 m^{-4} n^3 \cdot (-2^{-3} m^9 p^{18}) = -1,6 m^{-4} n^3 \cdot (-1/8 m^9 p^{18}) = 0,2 m^5 n^3 p^{18}$
3) $2\frac{1}{4} a^{-5} b \cdot (1\frac{1}{2} a^{-1} b^{-3})^{-3} = \frac{9}{4} a^{-5} b \cdot (\frac{3}{2})^{-3} a^3 b^9 = \frac{9}{4} \cdot \frac{8}{27} a^{-2} b^{10} = \frac{2}{3} a^{-2} b^{10} = \frac{2 b^{10}}{3 a^2}$
4) $(-10 a^{-2} b c^{-11})^{-2} \cdot (0,1 b c^{-2})^{-3} = (-10)^{-2} a^4 b^{-2} c^{22} \cdot (10^{-1})^{-3} b^{-3} c^6 = \frac{1}{100} a^4 b^{-2} c^{22} \cdot 10^3 b^{-3} c^6 = 10 a^4 b^{-5} c^{28} = \frac{10 a^4 c^{28}}{b^5}$
5) $(-\frac{1}{5} a^{-3} b^{-7})^{-3} \cdot (-5 a^2 b^6)^{-2} = (-5)^3 a^9 b^{21} \cdot (-5)^{-2} a^{-4} b^{-12} = -125 a^9 b^{21} \cdot \frac{1}{25} a^{-4} b^{-12} = -5 a^5 b^9$
6) $(\frac{8 p^{-4}}{q^{-1}})^{-2} \cdot (16 p^{-6} q^3)^3 = (8^{-2} p^8 q^{-2}) \cdot (16^3 p^{-18} q^9) = \frac{1}{64} p^8 q^{-2} \cdot 4096 p^{-18} q^9 = 64 p^{-10} q^7 = \frac{64 q^7}{p^{10}}$
