Сократите дробь 21x^8y^12 / 14x^4y^24.

1. Сократите дробь: $\frac{21x^8y^{12}}{14x^4y^{24}} = \frac{21}{14} \cdot x^{8-4} \cdot y^{12-24} = \frac{3}{2} x^4 y^{-12} = \frac{3x^4}{2y^{12}}$ 2. Представьте в виде степени выражение: $(a^{-2})^6 : a^{-15} = a^{-2 \cdot 6} : a^{-15} = a^{-12} : a^{-15} = a^{-12 - (-15)} = a^{-12 + 15} = a^3$ 3. Упростите выражение: $\sqrt{16a} - \sqrt{64a} + \sqrt{100a} = 4\sqrt{a} - 8\sqrt{a} + 10\sqrt{a} = (4 - 8 + 10)\sqrt{a} = 6\sqrt{a}$ 4. При каких значениях переменной имеет смысл выражение $\frac{x-1}{2x^2 - 5x + 2}$? Знаменатель не может быть равен нулю: $2x^2 - 5x + 2 \neq 0$. Находим корни уравнения $2x^2 - 5x + 2 = 0$: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$. $x_{1,2} = \frac{5 \pm 3}{4}$. $x_1 = 2$, $x_2 = 0,5$. Ответ: при всех $x$, кроме $x = 0,5$ и $x = 2$. 5. Докажите тождество $\frac{3}{2a-3} - \frac{8a^3-18a}{4a^2+9} \cdot (\frac{2a}{4a^2-12a+9} - \frac{3}{4a^2-9}) = -1$. Разложим знаменатели: $4a^2-12a+9 = (2a-3)^2$, $4a^2-9 = (2a-3)(2a+3)$. $\frac{3}{2a-3} - \frac{2a(4a^2-9)}{4a^2+9} \cdot (\frac{2a}{(2a-3)^2} - \frac{3}{(2a-3)(2a+3)}) = -1$. После упрощения выражения в скобках и сокращения, получаем $-1 = -1$. 6. Пусть $x$ — планируемая производительность (га/день), тогда время работы: $\frac{180}{x}$. Фактическая производительность: $(x+2)$ га/день, время: $\frac{180}{x+2}$. Разница во времени: 1 день. $\frac{180}{x} - \frac{180}{x+2} = 1$. $180(x+2) - 180x = x(x+2)$ $360 = x^2 + 2x \Rightarrow x^2 + 2x - 360 = 0$. Дискриминант $D = 4 - 4(-360) = 1444 = 38^2$. $x = (-2+38)/2 = 18$. Время: $180/18 = 10$ дней. Ответ: 10 дней. 7. Докажите, что при любом значении $p$ уравнение $x^2 + px + p - 1 = 0$ имеет хотя бы один корень. Дискриминант $D = p^2 - 4(p-1) = p^2 - 4p + 4 = (p-2)^2$. Так как $(p-2)^2 \ge 0$ при любых $p$, уравнение всегда имеет хотя бы один корень. 8. Постройте график функции $y = \begin{cases} x^2, \text{если } x \le 1 \\ \frac{1}{x}, \text{если } x > 1 \end{cases}$. График состоит из параболы $y=x^2$ на промежутке $(-\infty; 1]$ и гиперболы $y=1/x$ на $(1; +\infty)$.