Вычисли меньшую сторону и площадь прямоугольника, если его большая сторона равна 18 мм, диагональ равна 12√3 мм и образует с меньшей стороной угол 60 градусов.

Пусть меньшая сторона прямоугольника равна $a$, а большая — $b$. По условию, большая сторона $b = 18$ мм. Диагональ $d = 12\sqrt{3}$ мм образует с меньшей стороной $a$ угол $60^\circ$. В прямоугольном треугольнике, образованном двумя сторонами прямоугольника и диагональю, отношение меньшей стороны к гипотенузе (диагонали) равно косинусу угла между ними: $a = d \cdot \cos(60^\circ) = 12\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 6\sqrt{3}$ мм. Заметим, что по условию $b = 18$ мм. Проверим, является ли $b$ действительно большей стороной: $6\sqrt{3} = \sqrt{36 \cdot 3} = \sqrt{108} \approx 10{,}39$ мм. Так как $10{,}39 < 18$, то $a = 6\sqrt{3}$ мм — действительно меньшая сторона. Площадь прямоугольника $S$ равна произведению его сторон: $S = a \cdot b = 6\sqrt{3} \cdot 18 = 108\sqrt{3}$ мм$^2$. Ответ: меньшая сторона равна $6\sqrt{3}$ мм; площадь прямоугольника равна $108\sqrt{3}$ мм$^2$.