а) Решите уравнение 20^cos x = 4^cos x * 5^-sin x. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-9π/2; -3π]

а) Решим уравнение $20^{\cos x} = 4^{\cos x} \cdot 5^{-\sin x}$. Заметим, что $20^{\cos x} = (4 \cdot 5)^{\cos x} = 4^{\cos x} \cdot 5^{\cos x}$. Подставим это в уравнение: $4^{\cos x} \cdot 5^{\cos x} = 4^{\cos x} \cdot 5^{-\sin x}$ Разделим обе части на $4^{\cos x}$ (так как $4^{\cos x} > 0$ при любых $x$): $5^{\cos x} = 5^{-\sin x}$ Так как основания равны и больше 1, перейдем к равенству показателей: $\cos x = -\sin x$ Разделим на $\cos x$ (при $\cos x \neq 0$, если $\cos x = 0$, то и $\sin x = 0$, что невозможно по основному тригонометрическому тождеству): $1 = -\tan x$ $\tan x = -1$ $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ б) Найдем корни на отрезке $[-\frac{9\pi}{2}; -3\]$. Представим границы отрезка с общим знаменателем 4: $[-\frac{18\pi}{4}; -\frac{12\pi}{4}]$ Наш корень $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k = \frac{-1\pi + 4\pi k}{4}$. Подставим различные $k$: Если $k = -1$: $x = -\frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{5\pi}{4}$ (не подходит, больше $-3\pi$) Если $k = -2$: $x = -\frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{9\pi}{4}$ (не подходит, больше $-3\pi$) Если $k = -3$: $x = -\frac{\pi}{4} - 3\pi = -\frac{13\pi}{4}$ (не подходит, больше $-3\pi$ в сторону нуля, нужно проверить границы: $-3\pi = -12\pi/4$, а $-13\pi/4 < -12\pi/4$, подходит! ) Проверим: $-13\pi/4$ это $-3.25\pi$. $-3\pi$ это $-3\pi$. Да, $-3.25\pi < -3\pi$ верно. Проверим $-17\pi/4$ (при $k = -4$): $-17\pi/4 = -4.25\pi$. Это число больше $-4.5\pi$ ($-18\pi/4$), значит подходит. При $k = -5$: $-21\pi/4$ (меньше $-4.5\pi$, не подходит). Ответ: а) $-\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{17\pi}{4}; -\frac{13\pi}{4}$.