13 а) Решите уравнение log7(2 cos2 x + 3 cos x - 1) = 0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-7pi/2; -2pi]

а) $\log_7(2 \cos^2 x + 3 \cos x - 1) = 0$ ОДЗ: $2 \cos^2 x + 3 \cos x - 1 > 0$ По определению логарифма: $2 \cos^2 x + 3 \cos x - 1 = 7^0$, следовательно $2 \cos^2 x + 3 \cos x - 1 = 1$. Перенесем 1 влево: $2 \cos^2 x + 3 \cos x - 2 = 0$. Пусть $t = \cos x$, где $|t| \le 1$. Получаем уравнение $2t^2 + 3t - 2 = 0$. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$. $t_1 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = 0,5$. $t_2 = \frac{-3 - 5}{4} = -2$ (не удовлетворяет условию $|t| \le 1$). Значит, $\cos x = 0,5$. $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. Проверка ОДЗ: при $\cos x = 0,5$, $2(0,5)^2 + 3(0,5) - 1 = 2(0,25) + 1,5 - 1 = 0,5 + 1,5 - 1 = 1 > 0$. Значит, все корни подходят. б) Найдем корни на отрезке $[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi]$. Корни общего вида: $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ и $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$. 1. При $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$: $-\frac{7\pi}{2} \le \frac{\pi}{3} + 2\pi n \le -2\pi$ $-\frac{7}{2} \le \frac{1}{3} + 2n \le -2$ $-\frac{7}{2} - \frac{1}{3} \le 2n \le -2 - \frac{1}{3}$ $-\frac{21}{6} - \frac{2}{6} \le 2n \le -\frac{6}{3} - \frac{1}{3}$ $-\frac{23}{6} \le 2n \le -\frac{7}{3}$ $-3,83 \le 2n \le -2,33$ $-1,91 \le n \le -1,16$ Подходит $n = -2$. $x = \frac{\pi}{3} - 4\pi = \frac{\pi - 12\pi}{3} = -\frac{11\pi}{3}$. 2. При $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$: $-\frac{7\pi}{2} \le -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \le -2\pi$ $-\frac{21}{6} + \frac{2}{6} \le 2n \le -\frac{12}{6} + \frac{2}{6}$ $-\frac{19}{6} \le 2n \le -\frac{10}{6}$ $-3,16 \le 2n \le -1,66$ $-1,58 \le n \le -0,83$ Подходит $n = -1$. $x = -\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{7\pi}{3}$. Ответ: а) $\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{11\pi}{3}, -\frac{7\pi}{3}$.