В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, угол B равен 76°. Биссектрисы углов A и C пересекаются в точке M. Найдите величину угла AMC.

1. Треугольник ABC равнобедренный (AB=BC), угол B = 76°. Сумма углов треугольника 180°. Угол A = Угол C = (180° - 76°) / 2 = 104° / 2 = 52°. Биссектрисы делят углы пополам: угол MAC = 52°/2 = 26°, угол MCA = 52°/2 = 26°. В треугольнике AMC: угол AMC = 180° - (26° + 26°) = 180° - 52° = 128°. Ответ: 128°. 2. Треугольник ABC равнобедренный (AB=BC), угол B = 88°. Угол A = Угол C = (180° - 88°) / 2 = 92° / 2 = 46°. Угол MAC = 46°/2 = 23°, угол MCA = 46°/2 = 23°. Угол AMC = 180° - (23° + 23°) = 180° - 46° = 134°. Ответ: 134°. 3. Треугольник ABC равнобедренный (AB=BC), угол B = 72°. Угол A = Угол C = (180° - 72°) / 2 = 108° / 2 = 54°. Угол MAC = 54°/2 = 27°, угол MCA = 54°/2 = 27°. Угол AMC = 180° - (27° + 27°) = 180° - 54° = 126°. Ответ: 126°. 4. Треугольник ABC равнобедренный (AB=BC), угол B = 64°. Угол A = Угол C = (180° - 64°) / 2 = 116° / 2 = 58°. Угол MAC = 58°/2 = 29°, угол MCA = 58°/2 = 29°. Угол AMC = 180° - (29° + 29°) = 180° - 58° = 122°. Ответ: 122°. 5. Угол ABC = 32°. В равнобедренном треугольнике ABC (AC - основание) углы при основании равны: угол BAC = угол BCA = (180° - 32°) / 2 = 74°. Точка D на продолжении AB, значит угол DAC смежный с углом BAC. Угол DAC = 180° - 74° = 106°. Треугольник ADC равнобедренный (AD=AC), углы при основании равны: угол ADC = угол ACD = (180° - 106°) / 2 = 74° / 2 = 37°. Ответ: 37°. 6. Угол ABC = 44°. Угол BAC = угол BCA = (180° - 44°) / 2 = 68°. Угол DAC (смежный с BAC) = 180° - 68° = 112°. В треугольнике ADC (AD=AC): угол ADC = (180° - 112°) / 2 = 68° / 2 = 34°. Ответ: 34°. 7. Угол ABC = 28°. Угол BAC = угол BCA = (180° - 28°) / 2 = 76°. Угол DAC (смежный с BAC) = 180° - 76° = 104°. В треугольнике ADC (AD=AC): угол ADC = (180° - 104°) / 2 = 76° / 2 = 38°. Ответ: 38°. 8. Угол ABC = 52°. Угол BAC = угол BCA = (180° - 52°) / 2 = 64°. Угол DAC (смежный с BAC) = 180° - 64° = 116°. В треугольнике ADC (AD=AC): угол ADC = (180° - 116°) / 2 = 64° / 2 = 32°. Ответ: 32°. 9. В треугольнике ABC угол B = 120°. Так как треугольник равнобедренный с основанием AC, углы при основании A и C равны: (180° - 120°) / 2 = 30°. Пусть h - высота из вершины A на продолжение стороны BC (т.к. угол B тупой, высота падает вне треугольника). В прямоугольном треугольнике ABH (угол AHB = 90°): угол ABH = 180° - 120° = 60°. Значит, угол BAH = 30°. Гипотенуза AB = AH / sin(60°) = 7 / (sqrt(3)/2) = 14/sqrt(3). В треугольнике ABC по теореме синусов: AC / sin(120°) = AB / sin(30°). AC = AB * sin(120°) / sin(30°) = (14/sqrt(3)) * (sqrt(3)/2) / (1/2) = 14. Ответ: 14. 10. Аналогично задаче 9: угол B = 120°, высота h = 5. Сторона AB = 5 / sin(60°) = 5 / (sqrt(3)/2) = 10/sqrt(3). AC = AB * sin(120°) / sin(30°) = (10/sqrt(3)) * (sqrt(3)/2) / (1/2) = 10. Ответ: 10.