В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке P. Докажите, что площади треугольников APB и CPD равны.

Для доказательства того, что площади треугольников APB и CPD равны, рассмотрим треугольники ABD и ACD. 1. Треугольники ABD и ACD имеют общее основание AD. 2. Поскольку AD || BC, высоты этих треугольников, опущенные на основание AD, равны (это расстояние между параллельными прямыми AD и BC). 3. Так как у треугольников ABD и ACD равны основания и равны высоты, их площади равны: $S_{ABD} = S_{ACD}$ 4. Площадь треугольника ABD можно представить как сумму площадей треугольников APB и APD: $S_{ABD} = S_{APB} + S_{APD}$ 5. Площадь треугольника ACD можно представить как сумму площадей треугольников CPD и APD: $S_{ACD} = S_{CPD} + S_{APD}$ 6. Так как $S_{ABD} = S_{ACD}$, то: $S_{APB} + S_{APD} = S_{CPD} + S_{APD}$ Вычитая площадь общего треугольника APD из обеих частей уравнения, получаем: $S_{APB} = S_{CPD}$ Что и требовалось доказать.