Биссектрисы углов B и C параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне AD. Докажите, что M — середина AD.

Дано: параллелограмм $ABCD$, $BM$ и $CM$ — биссектрисы углов $B$ и $C$, $M$ лежит на $AD$. Доказать: $M$ — середина $AD$. Доказательство: 1. Так как $BM$ — биссектриса угла $B$, то $\angle ABM = \angle CBM$. 2. Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $BC \parallel AD$. Углы $\angle CBM$ и $\angle AMB$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BM$. 3. Следовательно, $\angle ABM = \angle AMB$. Значит, треугольник $ABM$ — равнобедренный с основанием $BM$, откуда $AB = AM$. 4. Аналогично, $CM$ — биссектриса угла $C$, значит, $\angle BCM = \angle DCM$. Углы $\angle BCM$ и $\angle CMD$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $CM$. 5. Следовательно, $\angle DCM = \angle CMD$. Значит, треугольник $CDM$ — равнобедренный с основанием $CM$, откуда $CD = MD$. 6. Так как $ABCD$ — параллелограмм, $AB = CD$. 7. Так как $AB = AM$ и $CD = MD$, а $AB = CD$, то $AM = MD$. Значит, точка $M$ делит сторону $AD$ пополам, что и требовалось доказать.