Вычисли стороны и площадь прямоугольника, если его диагональ равна 13√3 дм и образует с большей стороной угол 30 градусов.

Пусть прямоугольник имеет стороны $a$ (большая сторона) и $b$ (меньшая сторона), а диагональ $d = 13\sqrt{3}$. 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный двумя сторонами прямоугольника и его диагональю. В этом треугольнике угол между гипотенузой (диагональю) и катетом $a$ равен $30^\circ$. 2. Используем тригонометрические функции: - $\cos 30^\circ = \frac{a}{d} \implies a = d \cdot \cos 30^\circ = 13\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 13 \cdot \frac{3}{2} = 19,5$ дм. - $\sin 30^\circ = \frac{b}{d} \implies b = d \cdot \sin 30^\circ = 13\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 6,5\sqrt{3}$ дм. 3. Вычислим площадь $S = a \cdot b$: $S = 19,5 \cdot 6,5\sqrt{3} = \frac{39}{2} \cdot \frac{13\sqrt{3}}{2} = \frac{507\sqrt{3}}{4} = 126,75\sqrt{3}$ дм$^2$. Запишем в нужном виде: $126,75\sqrt{3}$ дм$^2$. Ответ: - большая сторона равна 19,5 дм; - меньшая сторона равна 6,5$\sqrt{3}$ дм; - площадь прямоугольника равна 126,75$\sqrt{3}$ дм$^2$.