III. Геометрия 8) Два угла равнобедренного треугольника пропорциональны числам 7 и 4. Найдите угол между биссектрисами равных углов.

8) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Пусть углы треугольника пропорциональны числам 7 и 4. Возможны два случая: 1. Углы при основании пропорциональны 4, а угол при вершине — 7. Сумма углов треугольника $180^{\circ}$. Пусть углы равны $4x, 4x, 7x$. Тогда $4x+4x+7x=15x=180^{\circ}$, значит $x=12^{\circ}$. Углы: $48^{\circ}, 48^{\circ}, 84^{\circ}$. Биссектрисы равных углов (при основании) образуют треугольник с основанием треугольника. Угол при основании треугольника равен $48^{\circ}$, его половина (так как биссектриса делит угол пополам) — $24^{\circ}$. Угол между биссектрисами: $180^{\circ} - (24^{\circ} + 24^{\circ}) = 132^{\circ}$. 2. Углы при основании пропорциональны 7, а угол при вершине — 4. Углы: $7x, 7x, 4x$. Сумма: $18x=180^{\circ}$, значит $x=10^{\circ}$. Углы: $70^{\circ}, 70^{\circ}, 40^{\circ}$. Половина угла при основании: $35^{\circ}$. Угол между биссектрисами: $180^{\circ} - (35^{\circ} + 35^{\circ}) = 110^{\circ}$. Ответ: $132^{\circ}$ или $110^{\circ}$. 9) Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^{\circ}$) один из острых углов равен $30^{\circ}$ (например, $\angle A = 30^{\circ}$), тогда $\angle B = 60^{\circ}$. Проведем высоту $CH$ и медиану $CM$ из вершины прямого угла. В $\triangle ACH$ ($\angle H=90^{\circ}, \angle A=30^{\circ}$), $\angle ACH = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$. Медиана $CM$ в прямоугольном треугольнике равна половине гипотенузы, поэтому $\triangle BCM$ — равнобедренный ($CM=BM$). Тогда $\angle BCM = \angle B = 60^{\circ}$. Так как $\angle ACB = 90^{\circ}$ и $\angle ACH = 60^{\circ}$, то $\angle HCB = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$. Угол $MCH = \angle BCM - \angle HCB = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$. Таким образом, $\angle ACH = 30^{\circ}$, $\angle MCH = 30^{\circ}$, $\angle BCM = 30^{\circ}$ (так как $\angle BCM=60^{\circ}$ и $\angle HCB=30^{\circ}$, то $\angle MCB = 60^{\circ}$, но медиана делит прямого угол иначе). Пересчет: $\angle ACH = 90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$. $\angle BCM = 90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$. $\angle HCB = 30^{\circ}$. Углы $\angle ACH=60^{\circ}, \angle HCB=30^{\circ}$. Медиана $CM$ делит $\angle C$ на $30^{\circ}$ и $60^{\circ}$. Высота делит угол $90^{\circ}$ на $60^{\circ}$ и $30^{\circ}$. Части: $\angle ACH=60^{\circ}, \angle HCM=30^{\circ}, \angle MCB=30^{\circ}$. Все три части равны $30^{\circ}$. Ч.т.д.