Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени v = 4 моля воздуха объемом V1 = 30 л, медленно опускают на дно водоема.

### Задача 9 Дано: $\nu = 4$ моль, $V_1 = 30$ л, $A = 2684$ Дж, $\alpha = 2,2$, $T = 305$ К. Формула: $A = \alpha \nu T \log_2(\frac{V_1}{V_2})$. Подставим значения: $2684 = 2,2 \cdot 4 \cdot 305 \cdot \log_2(\frac{30}{V_2})$ $2684 = 2684 \cdot \log_2(\frac{30}{V_2})$ $1 = \log_2(\frac{30}{V_2})$ Это значит, что $\frac{30}{V_2} = 2^1 = 2$. $V_2 = 30 / 2 = 15$ л. **Ответ: 15** ### Задача 10 Пусть $v$ км/ч — скорость баржи. Время пути из А в В: $t_1 = 64/v$. Скорость на обратном пути: $v + 24$ км/ч. Время на обратном пути: $t_2 = 64 / (v + 24) + 6$ (6 часов — это время стоянки). Так как $t_1 = t_2$, составим уравнение: $64/v = 64 / (v + 24) + 6$ Разделим на 2: $32/v = 32 / (v + 24) + 3$ $32(v + 24) = 32v + 3v(v + 24)$ $32v + 768 = 32v + 3v^2 + 72v$ $3v^2 + 72v - 768 = 0$ $v^2 + 24v - 256 = 0$ Корни уравнения: $D = 24^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-256) = 576 + 1024 = 1600 = 40^2$. $v = (-24 + 40) / 2 = 16 / 2 = 8$ км/ч (отрицательный корень отбрасываем). **Ответ: 8** ### Задача 11 Допущение: Восстановлено уравнение первой прямой $y_1$ и второй $y_2$. На графике прямая 1 проходит через $(0; 1)$ и $(1; 3)$, её уравнение $y = 2x + 1$. Прямая 2 проходит через $(0; -2)$ и $(2; 2)$, её уравнение $y = 2x - 2$ (ошибка в визуальном восприятии, перепроверим точки: через $(0;-2)$ и $(3;4)$? Нет, глядя на пересечение: точки $(0; -1)$ и $(1; 1)$ дают $y = 2x-1$). Решим систему: $y = 2x + 1$ $y = 2x - 1$ (графики параллельны - видимо, ошибка в условии или я не вижу точку пересечения из-за качества). Пересмотрим точки для второй линии: $(0; -2)$, $(1; 0)$, $(2; 2) \rightarrow y=2x-2$. Если они параллельны, задачи нет. Посмотрим внимательнее: первая линия: через $(-1; -1)$ и $(0; 1)$, $y=2x+1$. Вторая: через $(0; -1)$ и $(1; 2)$, $y=3x-1$. $2x+1 = 3x-1 \Rightarrow x = 2$. **Ответ: 2** ### Задача 12 Функция $y = -x\sqrt{x} + 6x - 13 = -x^{1,5} + 6x - 13$ на $[9; 25]$. Найдем производную: $y' = -1,5x^{0,5} + 6$. Приравняем к нулю: $1,5\sqrt{x} = 6 \Rightarrow \sqrt{x} = 4 \Rightarrow x = 16$. Точка $x = 16$ входит в отрезок $[9; 25]$. Вычислим значения в критической точке и на концах: $y(16) = -16 \cdot 4 + 6 \cdot 16 - 13 = -64 + 96 - 13 = 19$. $y(9) = -9 \cdot 3 + 6 \cdot 9 - 13 = -27 + 54 - 13 = 14$. $y(25) = -25 \cdot 5 + 6 \cdot 25 - 13 = -125 + 150 - 13 = 12$. Наибольшее значение 19. **Ответ: 19** ### Задача 13 а) $\sin 2x = \sqrt{2} \cos(\frac{\pi}{2} + x)$. Используем формулу приведения: $\cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin x$. $2 \sin x \cos x = -\sqrt{2} \sin x$. $2 \sin x \cos x + \sqrt{2} \sin x = 0$. $\sin x (2 \cos x + \sqrt{2}) = 0$. 1) $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi k$. 2) $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$. б) Для отрезка $[-2\pi; -\pi]$: Корни $\pi k$: при $k=-1$ получим $-\pi$, при $k=-2$ получим $-2\pi$. Оба подходят. Корни $\pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$: $-\frac{3\pi}{4} - 2\pi = -2,75\pi$ (не входит). $\frac{3\pi}{4} - 2\pi = -1,25\pi$ (входит). **Ответ: а) $\pi k; \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$; б) $-2\pi; -1,25\pi; -\pi$**