5(6). Антон, Борис и Василий решили переплыть с одного берега озера на противоположный, расстояние между которыми составляет 3 км.

Пусть $v_p$ — скорость пловца (10 м/мин), тогда скорость лодки $v_l = 12v_p = 120$ м/мин. Расстояние $S = 3000$ м. Обозначим $t_1$ время, через которое Борис выпрыгнул из лодки. В этот момент лодка (Антон + Борис) и Василий проплыли некоторое расстояние. Пусть $x$ — расстояние, которое проплыл Василий за $t_1$, $x = v_p t_1$. За это время лодка проплыла $S_1 = v_l t_1 = 12 v_p t_1 = 12x$. В этот момент Борис выпрыгнул из лодки. Борису осталось проплыть $S - S_1 = 3000 - 12x$ со скоростью $v_p$. Время его пути после прыжка: $t_{B2} = (3000 - 12x) / v_p$. Василию осталось проплыть $S - x$ со скоростью $v_p$. Антон развернулся. Пусть время от момента прыжка Бориса до встречи Антона с Василием равно $t_{v}$. За это время Василий проплыл $v_p t_v$, лодка проплыла $-v_l t_v$ (навстречу). Встретились они в точке $S_w = x + v_p t_v = S_1 - v_l t_v$. $x + v_p t_v = 12x - 12v_p t_v ightarrow 13 v_p t_v = 11x ightarrow t_v = \frac{11x}{13 v_p}$. После встречи Василий сел в лодку. Расстояние от точки встречи до финиша: $S - S_w = S - (x + v_p t_v) = 3000 - (x + \frac{11}{13}x) = 3000 - \frac{24}{13}x$. Лодка с Василием преодолела это расстояние со скоростью $v_l = 12v_p$. Время $t_3 = \frac{3000 - \frac{24}{13}x}{12 v_p} = \frac{250}{v_p} - \frac{2}{13 v_p}x$. Так как все прибыли одновременно, время Бориса равно времени движения Антона с Василием: $t_1 + t_{B2} = t_1 + t_v + t_3$ $t_1 + \frac{3000 - 12x}{v_p} = t_1 + \frac{11x}{13 v_p} + \frac{250}{v_p} - \frac{2}{13 v_p}x$ Умножим на $v_p$: $3000 - 12x = \frac{9x}{13} + 250$ $2750 = 12x + \frac{9}{13}x = \frac{156+9}{13}x = \frac{165}{13}x$ $x = \frac{2750 \cdot 13}{165} = \frac{550 \cdot 13}{33} = \frac{50 \cdot 13}{3} \approx 216,67$ м. Общее время $T = t_1 + t_{B2} = \frac{x}{v_p} + \frac{3000 - 12x}{v_p} = \frac{3000 - 11x}{v_p} = \frac{3000 - 11 \cdot (\frac{650}{3})}{10} = 300 - \frac{11 \cdot 65}{3} = 300 - \frac{715}{3} = 300 - 238,33 = 61,67$ мин. Ответ: 61 минута 40 секунд (или $185/3$ минут).