158. Решите систему уравнений:

158. Решите систему уравнений: а) $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \\ 2x - y = 5 \end{cases}$. Из второго $y = 2x-5$. Подставим в первое: $\frac{1}{x} + \frac{1}{2x-5} = \frac{1}{6} \Rightarrow \frac{2x-5+x}{x(2x-5)} = \frac{1}{6} \Rightarrow 18x-30 = 2x^2-5x \Rightarrow 2x^2-23x+30=0$. Корни: $x_1=10, x_2=1.5$. Тогда $y_1=15, y_2=-2$. Ответ: (10; 15), (1.5; -2). б) $\begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{20} \\ x + 2y = 14 \end{cases}$. Из второго $x=14-2y$. Подставим: $\frac{1}{14-2y} - \frac{1}{y} = \frac{1}{20} \Rightarrow \frac{y-(14-2y)}{y(14-2y)} = \frac{1}{20} \Rightarrow 20(3y-14) = 14y-2y^2 \Rightarrow 2y^2 + 46y - 280 = 0 \Rightarrow y^2 + 23y - 140 = 0$. Корни $y_1=5, y_2=-28$. Тогда $x_1=4, x_2=70$. Ответ: (4; 5), (70; -28). в) $\begin{cases} x+y=14 \\ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 2\frac{1}{12} = \frac{25}{12} \end{cases}$. Обозначим $t = \frac{x}{y}$, тогда $t + \frac{1}{t} = \frac{25}{12} \Rightarrow 12t^2-25t+12=0$. Корни $t_1=\frac{4}{3}, t_2=\frac{3}{4}$. 1) $\frac{x}{y}=\frac{4}{3} \Rightarrow x=\frac{4}{3}y$. В $x+y=14$: $\frac{7}{3}y=14 \Rightarrow y=6, x=8$. 2) $\frac{x}{y}=\frac{3}{4} \Rightarrow x=\frac{3}{4}y$. В $x+y=14$: $\frac{7}{4}y=14 \Rightarrow y=8, x=6$. Ответ: (8; 6), (6; 8). г) $\begin{cases} x-y=2 \\ \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{5}{6} \end{cases}$. Обозначим $t = \frac{x}{y}$, тогда $t - \frac{1}{t} = \frac{5}{6} \Rightarrow 6t^2-5t-6=0$. Корни $t_1=\frac{3}{2}, t_2=-\frac{2}{3}$. 1) $\frac{x}{y}=\frac{3}{2} \Rightarrow x=\frac{3}{2}y$. В $x-y=2$: $\frac{1}{2}y=2 \Rightarrow y=4, x=6$. 2) $\frac{x}{y}=-\frac{2}{3} \Rightarrow x=-\frac{2}{3}y$. В $x-y=2$: $-\frac{5}{3}y=2 \Rightarrow y=-1.2, x=0.8$. Ответ: (6; 4), (0.8; -1.2). 157. Решите систему уравнений: а) $(x+y)(x-y)=0$ значит $x=y$ или $x=-y$. 1) $\begin{cases} x=y \\ 2x-y=1 \end{cases} \Rightarrow x=1, y=1$. 2) $\begin{cases} x=-y \\ 2x-y=1 \end{cases} \Rightarrow 3x=1 \Rightarrow x=1/3, y=-1/3$. Ответ: (1; 1), (1/3; -1/3). б) $\begin{cases} x^2+y^2=25 \\ (x-3)(y-5)=0 \end{cases}$. 1) $x=3 \Rightarrow 9+y^2=25 \Rightarrow y^2=16 \Rightarrow y=\pm 4$. Точки (3; 4), (3; -4). 2) $y=5 \Rightarrow x^2+25=25 \Rightarrow x^2=0 \Rightarrow x=0$. Точка (0; 5). Ответ: (3; 4), (3; -4), (0; 5). в) $\begin{cases} x^2+y^2=100 \\ (x-7y)(x+7y)=0 \end{cases}$. 1) $x=7y \Rightarrow 49y^2+y^2=100 \Rightarrow y^2=2 \Rightarrow y=\pm\sqrt{2}, x=\pm 7\sqrt{2}$. 2) $x=-7y \Rightarrow 49y^2+y^2=100 \Rightarrow y^2=2 \Rightarrow y=\pm\sqrt{2}, x=\mp 7\sqrt{2}$. Ответ: $(7\sqrt{2}; \sqrt{2}), (-7\sqrt{2}; -\sqrt{2}), (-7\sqrt{2}; \sqrt{2}), (7\sqrt{2}; -\sqrt{2})$. г) $\begin{cases} x^2-y^2=50 \\ x(y+1)=0 \end{cases}$. 1) $x=0 \Rightarrow -y^2=50$ (нет действительных корней). 2) $y=-1 \Rightarrow x^2-1=50 \Rightarrow x^2=51 \Rightarrow x=\pm\sqrt{51}$. Ответ: $(\sqrt{51}; -1), (-\sqrt{51}; -1)$. 153. Множество решений системы: а) $x^2+y^2=40, xy=-12$. $(x+y)^2 = x^2+y^2+2xy = 40-24=16 \Rightarrow x+y=\pm 4$. $(x-y)^2 = 40+24=64 \Rightarrow x-y=\pm 8$. Решая системы, находим: (6;-2), (-6;2), (2;-6), (-2;6). б) $x^2+y^2=80, xy=24$. $(x+y)^2=128, (x-y)^2=32$. Решая, находим: (8;3), (-8;-3), (3;8), (-3;-8). в) $x^2+y^2=15, xy=6$. $(x+y)^2=27, (x-y)^2=3$. Решая: $(\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{3}}{2}; \dots) = (2\sqrt{3}; \sqrt{3})$ и т.д. Ответы: $(2\sqrt{3}; \sqrt{3}), (-2\sqrt{3}; -\sqrt{3}), (\sqrt{3}; 2\sqrt{3}), (-\sqrt{3}; -2\sqrt{3})$. г) $x^2+y^2+xy=9, xy=-24$. Тогда $(x+y)^2 = x^2+y^2+2xy = 9+xy = 9-24 = -15$. Решений нет. 159. $\begin{cases} x^2-3xy+y^2+x+2y=8 \\ 2x-5y=-1 \\ 3y-x=2 \end{cases}$. Из последних двух: $x=3y-2 \Rightarrow 2(3y-2)-5y=-1 \Rightarrow 6y-4-5y=-1 \Rightarrow y=3, x=7$. Проверим в первом: $49 - 3(21) + 9 + 7 + 2(3) = 49-63+9+7+6 = 8$. Равенство верно. Да, имеет решение (7; 3). 160. Нужно проверить, есть ли общая точка у трех уравнений. Решим систему из последних двух: $\begin{cases} x^2+xy-2y^2-x+y=5 \\ x+y=7 \Rightarrow x=7-y \end{cases}$. $(7-y)^2 + (7-y)y - 2y^2 - (7-y) + y = 5 \Rightarrow 49-14y+y^2 + 7y-y^2 - 2y^2 - 7 + y + y = 5 \Rightarrow -2y^2 - 5y + 37 = 0 \Rightarrow 2y^2 + 5y - 37 = 0$. $D = 25 - 4(2)(-37) = 321$. $y = \frac{-5 \pm \sqrt{321}}{4}$. Найдем $x$ и проверим удовлетворяют ли они $\frac{x}{2}-\frac{y}{3}=1$. Это маловероятно для рациональных чисел. Ответ: нет.