Задача 5. (МОШ, 1998, 8) Школьник утром вскипятил чайник и стал его остужать, чтобы успеть попить чай до ухода в школу.

Для решения этой задачи воспользуемся законом охлаждения Ньютона. Он гласит, что скорость остывания тела (изменение температуры в единицу времени) прямо пропорциональна разности температур между телом и окружающей средой: $\frac{\Delta T}{\Delta t} = k \cdot (T_{ср} - T_{окр})$ где: - $\Delta T$ — изменение температуры, - $\Delta t$ — время, - $T_{ср}$ — средняя температура чайника за интервал времени, - $T_{окр}$ — температура окружающей среды, - $k$ — коэффициент теплопередачи. ### 1. Определим коэффициент k для первых двух случаев: **Случай 1 (Кухня):** - $\Delta T = 100 - 95 = 5^\circ\text{C}$ - $\Delta t = 5 \text{ мин}$ - $T_{ср} = \frac{100 + 95}{2} = 97,5^\circ\text{C}$ - $T_{окр} = 20^\circ\text{C}$ - Подставляем: $\frac{5}{5} = k \cdot (97,5 - 20) \implies 1 = k \cdot 77,5 \implies k = \frac{1}{77,5} \approx 0,0129 \text{ мин}^{-1}$ **Случай 2 (Холодильник):** - $\Delta T = 95 - 90 = 5^\circ\text{C}$ - $\Delta t = 4 \text{ мин } 12 \text{ сек} = 4,2 \text{ мин}$ - $T_{ср} = \frac{95 + 90}{2} = 92,5^\circ\text{C}$ - $T_{окр} = 0^\circ\text{C}$ - Подставляем: $\frac{5}{4,2} = k \cdot (92,5 - 0) \implies 1,19 = k \cdot 92,5 \implies k = \frac{1,19}{92,5} \approx 0,01287 \text{ мин}^{-1}$ Значения коэффициента $k$ в обоих случаях близки, значит, мы можем использовать усредненное значение $k \approx 0,0129$. ### 2. Расчет для улицы: - $\Delta T = 90 - 85 = 5^\circ\text{C}$ - $T_{ср} = \frac{90 + 85}{2} = 87,5^\circ\text{C}$ - $T_{окр} = -20^\circ\text{C}$ - $\Delta t$ — искомое время. Используем закон: $\frac{5}{\Delta t} = k \cdot (T_{ср} - T_{окр})$ $\frac{5}{\Delta t} = 0,0129 \cdot (87,5 - (-20))$ $\frac{5}{\Delta t} = 0,0129 \cdot 107,5$ $\frac{5}{\Delta t} \approx 1,387$ $\Delta t = \frac{5}{1,387} \approx 3,6 \text{ минут}$ Переведем $0,6 \text{ минуты}$ в секунды: $0,6 \cdot 60 = 36 \text{ секунд}$. **Ответ:** Чайник остынет на улице примерно за 3 минуты 36 секунд.