ЗАДАЧА 5. (МОШ, 1998, 8) Школьник утром вскипятил чайник и стал его остужать, чтобы успеть попить чай до ухода в школу.

Для решения задачи воспользуемся законом охлаждения Ньютона. Согласно ему, скорость изменения температуры тела $T$ пропорциональна разности между температурой тела и температурой окружающей среды $T_{env}$: $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_{env})$ При небольших изменениях температуры этот закон можно записать в приближенном виде: $\frac{\Delta T}{\Delta t} = k(T_{ср} - T_{env})$ где $T_{ср}$ — средняя температура тела на интервале охлаждения. 1. Рассмотрим охлаждение на кухне: - $\Delta T = 100 - 95 = 5^\circ C$ - $\Delta t_1 = 5$ мин = 300 сек - $T_{ср1} = \frac{100 + 95}{2} = 97,5^\circ C$ - $T_{env1} = 20^\circ C$ - Уравнение: $\frac{5}{300} = k(97,5 - 20) = k \cdot 77,5$ - $k = \frac{5}{300 \cdot 77,5} = \frac{1}{60 \cdot 77,5} = \frac{1}{4650}$ 2. Рассмотрим охлаждение в холодильнике: - $\Delta T = 95 - 90 = 5^\circ C$ - $\Delta t_2 = 4$ мин 12 сек = $240 + 12 = 252$ сек - $T_{ср2} = \frac{95 + 90}{2} = 92,5^\circ C$ - $T_{env2} = 0^\circ C$ - Уравнение: $\frac{5}{252} = k'(92,5 - 0) = k' \cdot 92,5$ - $k' = \frac{5}{252 \cdot 92,5} = \frac{1}{50,4 \cdot 92,5} = \frac{1}{4662}$ Видно, что коэффициент $k \approx k'$, значит, модель верна, и мы можем использовать $k = \frac{1}{4650}$ (осреднив или приняв за константу). 3. Рассмотрим охлаждение на улице: - $\Delta T = 90 - 85 = 5^\circ C$ - $T_{ср3} = \frac{90 + 85}{2} = 87,5^\circ C$ - $T_{env3} = -20^\circ C$ - Уравнение: $\frac{5}{\Delta t_3} = k(87,5 - (-20))$ - $\frac{5}{\Delta t_3} = \frac{1}{4650} \cdot (107,5)$ - $\Delta t_3 = \frac{5 \cdot 4650}{107,5} = \frac{23250}{107,5} \approx 216,28$ сек Переведем в минуты: $216,28$ сек $\approx 3$ минуты $36$ секунд. **Ответ:** Чайник остынет на улице за 216 секунд (или примерно 3 минуты 36 секунд).