Задание 4. Прямые m и n параллельны. Найдите ∠3, если ∠1 = 31°, ∠2 = 106°. Ответ дайте в градусах.

Пусть прямые $m$ и $n$ параллельны, а линии $t$ и $k$ пересекают их. Рассмотрим треугольник, образованный пересечением прямых $m$, $n$, $k$ и $t$. 1. Обозначим внутренний угол при прямой $n$ и секущей $k$ как $\angle 2 = 106^\circ$. 2. На прямой $m$ угол, соответствующий углу 2 при пересечении параллельных прямых секущей $k$, также равен $106^\circ$ (как соответственные углы). 3. Угол 1 ($31^\circ$) и этот угол $106^\circ$ при прямой $m$ находятся рядом. Но нам удобнее рассмотреть треугольник, образованный пересечением линий $m$, $n$, $t$ и $k$. 4. Внутренний угол при прямой $n$ и секущей $t$ (смежный с $\angle 2$) равен $180^\circ - 106^\circ = 74^\circ$. 5. Внутренний угол при прямой $m$ и секущей $t$ равен $\angle 1 = 31^\circ$ (как накрест лежащие, если угол 1 — накрест лежащий с углом при прямой $n$, но по рисунку $\angle 1$ — это угол между $m$ и $k$). Давайте пересмотрим: - $\angle 1 = 31^\circ$ — это угол между $m$ и $k$. - Угол, накрест лежащий с $\angle 1$ при прямой $n$ и секущей $k$, равен $31^\circ$. - Рассмотрим треугольник, вершины которого: точка пересечения $m$ и $k$, точка пересечения $n$ и $k$, точка пересечения $t$ и $n$ (внутренний угол треугольника при прямой $n$ и секущей $t$ равен $180^\circ - 106^\circ = 74^\circ$). - В этом треугольнике один угол $31^\circ$, другой $74^\circ$. - $\angle 3$ — внешний для этого треугольника (вертикальный с внутренним углом треугольника при точке пересечения $t$ и $k$), либо мы ищем угол как сумму двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним. - $\angle 3 = 31^\circ + 74^\circ = 105^\circ$. Ответ: 105