1. В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны, внешний угол при вершине В равен 110°. Найдите углы треугольника АВС.

### Задача 1 **Дано:** $\triangle ABC$, $AB = BC$ (равнобедренный), внешний угол при вершине $B$ равен $110^\circ$. **Найти:** $\angle A, \angle B, \angle C$. **Решение:** 1. Внутренний угол $\angle B$ и внешний угол при вершине $B$ смежные. Их сумма равна $180^\circ$: $\angle B = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$. 2. Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ — равнобедренный, значит, углы при основании $AC$ равны: $\angle A = \angle C$. 3. Сумма углов треугольника $180^\circ$: $\angle A + \angle C + \angle B = 180^\circ$. $2 \cdot \angle A + 70^\circ = 180^\circ$, откуда $2 \cdot \angle A = 110^\circ$, значит $\angle A = 55^\circ$. Следовательно, $\angle C = 55^\circ$. **Ответ:** $70^\circ, 55^\circ, 55^\circ$. ### Задача 2 **Дано:** Внешний угол треугольника равен $140^\circ$. Внутренние не смежные с ним углы относятся как $3 : 4$. **Найти:** Все внутренние углы треугольника. **Решение:** 1. По теореме о внешнем угле: внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. 2. Пусть углы равны $3x$ и $4x$. Тогда: $3x + 4x = 140^\circ$. $7x = 140^\circ$, значит $x = 20^\circ$. Первый угол: $3 \cdot 20^\circ = 60^\circ$. Второй угол: $4 \cdot 20^\circ = 80^\circ$. 3. Третий угол смежный с внешним $140^\circ$: $180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$. **Ответ:** $60^\circ, 80^\circ, 40^\circ$. ### Задача 3 **Дано:** $\triangle ABC$ равнобедренный, $AB$ — основание. Биссектрисы $\angle A$ и $\angle B$ пересекаются в точке $D$. $\angle ADB = 100^\circ$. **Найти:** $\angle C$. **Решение:** 1. В $\triangle ADB$: $\angle DAB = \frac{1}{2} \angle A$, $\angle DBA = \frac{1}{2} \angle B$. Сумма углов треугольника: $\angle DAB + \angle DBA + \angle ADB = 180^\circ$. $\frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle B + 100^\circ = 180^\circ$. $\frac{1}{2} (\angle A + \angle B) = 80^\circ$, значит $\angle A + \angle B = 160^\circ$. 2. В $\triangle ABC$: $\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B)$. $\angle C = 180^\circ - 160^\circ = 20^\circ$. **Ответ:** $20^\circ$.