8. (12 баллов) Длина ребра куба PQRTP1Q1R1T1 равна 1. На ребре PP1 взята точка A так, что длина отрезка AP равна 1/3. На ребре QR взята точка B так, что длина отрезка QB равна 1/4. Через центр куба и точки A, B проведена плоскость π.

Для решения задачи введем систему координат с началом в точке P(0,0,0). Тогда вершины куба имеют координаты: P(0,0,0), Q(1,0,0), R(1,1,0), T(0,1,0), P1(0,0,1), Q1(1,0,1), R1(1,1,1), T1(0,1,1). Ребро куба равно 1. Точка A лежит на PP1, AP = 1/3, значит A(0,0, 1/3). Точка B лежит на QR. Так как R имеет координату x=1, y=1, z=0, а Q имеет координаты (1,0,0), то ребро QR лежит на прямой x=1, z=0. QB = 1/4, значит B(1, 1/4, 0). Центр куба O — это середина диагонали, например, PR1. O = (1/2, 1/2, 1/2). Уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0. Подставим координаты точек A(0,0,1/3), B(1, 1/4, 0), O(1/2, 1/2, 1/2): 1) 1/3*C + D = 0 => D = -1/3*C 2) A + 1/4*B + D = 0 => A + 1/4*B = 1/3*C 3) 1/2*A + 1/2*B + 1/2*C + D = 0 => 1/2*A + 1/2*B + 1/2*C - 1/3*C = 0 => 1/2*A + 1/2*B + 1/6*C = 0 => 3A + 3B + C = 0 => C = -3A - 3B. Подставим C в уравнения: D = -1/3*(-3A - 3B) = A + B. A + 1/4*B = 1/3*(-3A - 3B) = -A - B => 2A = -5/4*B => B = -8/5*A. C = -3A - 3(-8/5*A) = -3A + 24/5*A = 9/5*A. D = A - 8/5*A = -3/5*A. Выберем A = 5, тогда B = -8, C = 9, D = -3. Уравнение плоскости: 5x - 8y + 9z - 3 = 0. а) Ребро PQ лежит на оси OX (y=0, z=0). Пересечение с плоскостью: 5x - 8(0) + 9(0) - 3 = 0 => 5x = 3 => x = 3/5. Точка пересечения X(3/5, 0, 0). Точка P(0,0,0), Q(1,0,0). PX = 3/5, XQ = 1 - 3/5 = 2/5. Отношение PX:XQ = (3/5) : (2/5) = 3:2. Доказано. б) Расстояние от Q1(1,0,1) до плоскости: $h = \frac{|5(1) - 8(0) + 9(1) - 3|}{\sqrt{5^2 + (-8)^2 + 9^2}} = \frac{|5 + 9 - 3|}{\sqrt{25 + 64 + 81}} = \frac{11}{\sqrt{170}}$. Ответ: б) $\frac{11}{\sqrt{170}}$.