14. Ширина складского ангара равна 6 м, а длина 9 м, расстояние от чердачного перекрытия до конька 4,4 м. Нужно построить мансарду (жилое помещение, расположенное на чердаке здания) для хранения малогабаритного оборудования, поперечным сечением которой является прямоугольник. Каковы должны быть размеры поперечного сечения, чтобы его площадь была наибольшей?

### Решение задачи 14 Пусть $x$ — половина ширины прямоугольника (мансарды), тогда ширина равна $2x$. Высота треугольника (фронтона) составляет $H = 4,4$ м, а его основание $6$ м. Половина основания равна $3$ м. Высота прямоугольника $h$ зависит от $x$ по подобию треугольников: $\frac{h}{3-x} = \frac{4,4}{3} \Rightarrow h = \frac{4,4}{3}(3-x)$. Площадь прямоугольника $S(x) = 2x \cdot h = 2x \cdot \frac{4,4}{3}(3-x) = \frac{8,8}{3}(3x - x^2)$. Для нахождения максимума найдем производную: $S'(x) = \frac{8,8}{3}(3 - 2x) = 0 \Rightarrow x = 1,5$. Тогда ширина $2x = 3$ м, а высота $h = \frac{4,4}{3}(3-1,5) = 2,2$ м. **Ответ:** Ширина 3 м, высота 2,2 м. ### Решение задачи 15 Колодец состоит из двух частей: цилиндра и усеченного конуса. Размеры в мм переводим в метры: радиус цилиндра $r_1 = 0,6$ м, высота $h_1 = 0,5$ м. Радиус меньшего основания усеченного конуса $r_1 = 0,6$ м, радиус большего основания $r_2 = 1,2$ м, высота $h_2 = 2,5$ м. 1. Объем цилиндра: $V_1 = \pi r_1^2 h_1 = \pi \cdot 0,6^2 \cdot 0,5 = 0,18\pi \approx 0,565$ м$^3$. 2. Объем усеченного конуса: $V_2 = \frac{1}{3}\pi h_2 (r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2) = \frac{1}{3}\pi \cdot 2,5 \cdot (0,6^2 + 0,6 \cdot 1,2 + 1,2^2) = \frac{1}{3}\pi \cdot 2,5 \cdot (0,36 + 0,72 + 1,44) = \frac{1}{3}\pi \cdot 2,5 \cdot 2,52 = 2,1\pi \approx 6,597$ м$^3$. 3. Общий объем: $V = V_1 + V_2 = 0,18\pi + 2,1\pi = 2,28\pi \approx 7,16$ м$^3$. 4. Масса бетона (плотность $\rho = 2,45$ т/м$^3$): $m = V \cdot \rho = 7,16 \cdot 2,45 \approx 17,54$ т. **Ответ:** Объем $\approx 7,16$ м$^3$, масса $\approx 17,54$ т.