1. В октябре 1 кг яблок стоил 50 рублей, в ноябре яблоки подорожали на 20 %, а в декабре ещё на 20 %. Сколько рублей стоил 1 кг яблок после подорожания в декабре?

1. В октябре 1 кг яблок стоил 50 рублей. В ноябре они подорожали на 20%, то есть стали стоить $50 \cdot 1,2 = 60$ рублей. В декабре они подорожали еще на 20% по отношению к ноябрьской цене, то есть $60 \cdot 1,2 = 72$ рубля. Ответ: 72 2. Площадь каждого участка (прямоугольника $20 \times 25$) равна $20 \cdot 25 = 500$ м$^2$. Площадь пруда 150 м$^2$. Так как граница участков проходит через центр пруда, пруд делится пополам, то есть каждый садовод теряет $150 / 2 = 75$ м$^2$. Оставшаяся площадь участка каждого садовода: $500 - 75 = 425$ м$^2$. Ответ: 425 3. Количество стекол: 20 штук. Фирма А: $(300 + 17) \cdot 20 = 317 \cdot 20 = 6340$ руб. Фирма Б: $(320 + 13) \cdot 20 = 333 \cdot 20 = 6660$ руб. Фирма В: $340 \cdot 20 + 0 = 6800$ руб. (резка бесплатна, так как $340 \cdot 20 = 6800 > 2500$ руб.). Самый дешевый заказ в фирме А. Ответ: 6340 4. Вероятность того, что 1-й сервер не потребует вмешательства: $1 - 0,2 = 0,8$. Вероятность того, что 2-й сервер не потребует вмешательства: $1 - 0,15 = 0,85$. Так как события независимы, вероятность того, что ни один не потребует вмешательства: $0,8 \cdot 0,85 = 0,68$. Ответ: 0,68 5. $\sqrt{6 + 5x} = x$. Возведем в квадрат: $6 + 5x = x^2$ при условии $x \ge 0$. Переносим все вправо: $x^2 - 5x - 6 = 0$. По теореме Виета корни: $x_1 = 6, x_2 = -1$. Условию $x \ge 0$ удовлетворяет только 6. Ответ: 6 6. $3^{-x+3} > 3^1$. Так как $3 > 1$, то $-x + 3 > 1$, откуда $-x > -2$, значит $x < 2$. Наибольшее целое решение равно 1. Ответ: 1 7. $0,8^4 \cdot 5^3 \cdot 20^3 = (4/5)^4 \cdot 5^3 \cdot (20)^3 = \frac{256}{625} \cdot 125 \cdot 8000 = \frac{256}{5} \cdot 8000 = 256 \cdot 1600 = 409600$. Или проще: $(0,8 \cdot 20)^3 \cdot 0,8 = 16^3 \cdot 0,8 = 4096 \cdot 0,8 = 3276,8$. Перепроверим: $0,8^4 \cdot 5^3 \cdot 20^3 = 0,8 \cdot (0,8 \cdot 5)^3 \cdot 20^3 = 0,8 \cdot 4^3 \cdot 20^3 = 0,8 \cdot (4 \cdot 20)^3 = 0,8 \cdot 80^3 = 0,8 \cdot 512000 = 409600$. Ответ: 409600 8. В $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^\circ$): $\text{tg } A = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{5}$, значит $AC = 5BC$. По теореме Пифагора $AC^2 + BC^2 = 13^2 = 169$. Подставим $AC$: $(5BC)^2 + BC^2 = 169 \Rightarrow 26 BC^2 = 169 \Rightarrow BC^2 = 6,5$. Высота $CH$ из прямого угла: $CH = \frac{AC \cdot BC}{AB}$. Площадь $S = 0,5 \cdot AC \cdot BC = 0,5 \cdot CH \cdot AB$. $CH = \frac{AC \cdot BC}{13}$. $CH = \frac{5BC^2}{13} = \frac{5 \cdot 6,5}{13} = \frac{32,5}{13} = 2,5$. Ответ: 2,5 9. Деталь составлена из прямоугольного параллелепипеда (основание $4 \times 1$, высота $3$) и выступа сверху. Общая площадь поверхности равна площади внешней поверхности. Посчитаем площадь каждой грани: низ ($4 \times 1 = 4$), стороны: две $4 \times 3 = 12$ и две $1 \times 3 = 3$. Сверху: площадь горизонтальных поверхностей равна площади проекции, т.е. $4 \times 1 = 4$. Вертикальные стенки выступа (периметр выступа умножить на высоту): $P = 1+1+1+1 = 4$, высота 1. Итого $2 \cdot 12 + 2 \cdot 3 + 4 + 4 + 4 \cdot 1 = 24 + 6 + 4 + 4 + 4 = 42$. Ответ: 42