В треугольнике ABC площадью 90 см² биссектриса AD делит сторону BC на отрезки BD и CD, причём BD : CD = 2 : 3.

Для решения задачи воспользуемся методом отношения площадей треугольников. 1. **Отношения сторон:** * $AD$ — биссектриса, делит $BC$ в отношении $BD:CD = 2:3$. По свойству биссектрисы, стороны треугольника относятся так же: $AB:AC = BD:CD = 2:3$. Пусть $AB = 2x$, $AC = 3x$. * $L$ на $AC$ делит сторону в отношении $AL:CL = 1:2$. Значит, $AC = AL + CL = 1y + 2y = 3y$. Тогда $AL = ?rac{1}{3}AC$, $CL = ?rac{2}{3}AC$. 2. **Площади:** * Пусть $S$ — площадь $\triangle ABC$, $S = 90$ см². * Площадь $\triangle ADC$: так как $AD$ делит основание $BC$ в отношении $BD:CD = 2:3$, то $CD = \frac{3}{5}BC$. Площади треугольников с общей высотой относятся как их основания: $S_{ADC} = \frac{CD}{BC} \cdot S_{ABC} = \frac{3}{5} \cdot 90 = 54$ см². 3. **Применение теоремы Менелая для $\triangle ADC$ и прямой $B-E-L$:** * Однако, здесь удобнее использовать теорему Менелая для $\triangle ADC$ и секущей $BLE$. Пусть прямая $BL$ пересекает $AC$ в $L$ и $AD$ в $E$. * Используем теорему Менелая для $\triangle ADC$ и прямой $BEL$. Точки $L$ на $AC$, $E$ на $AD$. Третья точка пересечения с прямой $CD$ — это точка $B$. Прямая проходит через $B$, $E$, $L$. * По теореме Менелая для $\triangle ADC$ и прямой $B-E-L$: $\frac{AE}{ED} \cdot \frac{DB}{BC} \cdot \frac{CL}{LA} = 1$ $\frac{AE}{ED} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{1} = 1 \implies \frac{AE}{ED} = \frac{5}{4}$. * Значит, $AE = 5k$, $ED = 4k$, $AD = 9k$. Отсюда $\frac{ED}{AD} = \frac{4}{9}$. 4. **Площадь $\triangle EDC$:** * $S_{EDC} = \frac{ED}{AD} \cdot S_{ADC} = \frac{4}{9} \cdot 54 = 24$ см². 5. **Площадь $\triangle LDC$:** * $S_{LDC} = \frac{CL}{AC} \cdot S_{ADC} = \frac{2}{3} \cdot 54 = 36$ см². 6. **Площадь четырехугольника $EDCL$:** * Фигура $EDCL$ не является четырехугольником, это треугольник $LDC$, из которого вырезан треугольник $EDC$ (или наоборот, смотря как лежат точки). По условию $BL$ пересекает $AD$ в $E$. Значит, $E$ лежит внутри треугольника. Четырехугольник $EDCL$ — это невыпуклая фигура или просто сумма треугольников. Проверим структуру: точки $A, E, D$ на отрезке $AD$, точки $A, L, C$ на отрезке $AC$. $EDCL$ — это $S_{ADC} - S_{AEL} - S_{ECL}$. * $S_{AEL} = \frac{AE}{AD} \cdot \frac{AL}{AC} \cdot S_{ADC} = \frac{5}{9} \cdot \frac{1}{3} \cdot 54 = 10$ см². * $S_{ECL} = \frac{EC}{AC}$ нет, проще: * $S_{EDCL} = S_{ADC} - S_{AEL} = 54 - 10 = 44$ см². **Ответ: 44 см².**