Якщо катети прямокутного трикутника дорівнюють a і b, то медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює:

8. Правильна відповідь: Г. Медіана, проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника, дорівнює половині гіпотенузи. Оскільки гіпотенуза $c = \sqrt{a^2 + b^2}$, то медіана $m_c = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$. 9. Відповідність: 1) Катети 6 см і 8 см. Гіпотенуза $\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см. Відповідь: 1 — Д. 2) Катети 4 см і 5 см (це неможливо, бо 5 — гіпотенуза). Якщо катети 4 і $x$, а гіпотенуза 5, то $x^2 + 4^2 = 5^2 \Rightarrow x^2 = 25 - 16 = 9 \Rightarrow x = 3$ см. Відповідь: 2 — А. 3) Рівнобедрений трикутник, основа 6 см, бічна сторона 5 см. Висота ділить основу навпіл (на 3 см). За теоремою Піфагора: $h^2 + 3^2 = 5^2 \Rightarrow h^2 = 25 - 9 = 16 \Rightarrow h = 4$ см. Відповідь: 3 — Б. 4) Похила 10 см, проекція 8 см. Перпендикуляр $h^2 + 8^2 = 10^2 \Rightarrow h^2 = 100 - 64 = 36 \Rightarrow h = 6$ см. Відповідь: 4 — В. Таблиця відповідностей: 1 — Д 2 — А 3 — Б 4 — В 10. Основа $a = 70$ см, висота $h = 12$ см. Висота ділить основу на два відрізки по 35 см. Бічна сторона $b = \sqrt{35^2 + 12^2} = \sqrt{1225 + 144} = \sqrt{1369} = 37$ см. Периметр $P = 70 + 37 + 37 = 144$ см. 11. Висота хлопчика $H_1 = 1,5$ м, тінь $L_1 = 2$ м. Висота дерева $H_2$, тінь $L_2 = 16$ м. З подібності трикутників: $H_2 / L_2 = H_1 / L_1 \Rightarrow H_2 / 16 = 1,5 / 2 \Rightarrow H_2 = 16 \cdot 0,75 = 12$ м. 12. У трикутнику $ABC$ сторона $AB = 4$ см, точка $D$ на $BC$, $BD = 1$ см, $DC = 15$ см (тобто $BC = 16$ см), $AD = 3,5$ см. Знайдемо $AC$ за теоремою косинусів або через подібні трикутники (залежить від умов, можливо задано щось ще). Якщо $\triangle ABD \sim \triangle CBA$, то $AB/BC = BD/AB \Rightarrow 4/BC = 1/4 \Rightarrow BC=16$. Далі $AD/AC = AB/BC \Rightarrow 3,5/AC = 4/16 \Rightarrow 3,5/AC = 1/4 \Rightarrow AC = 14$ см.