Найдите точку максимума функции y = 1 + 27x - 2x√x.

Для нахождения точки максимума функции $y = 1 + 27x - 2x\sqrt{x}$ выполним следующие шаги: 1. Область определения: $x \ge 0$. 2. Перепишем функцию, используя степени: $y = 1 + 27x - 2x \cdot x^{1/2} = 1 + 27x - 2x^{3/2}$. 3. Найдем производную функции: $y' = (1)' + (27x)' - (2x^{3/2})'$ $y' = 0 + 27 - 2 \cdot \frac{3}{2}x^{1/2}$ $y' = 27 - 3\sqrt{x}$. 4. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $27 - 3\sqrt{x} = 0$ $3\sqrt{x} = 27$ $\sqrt{x} = 9$ $x = 81$. 5. Определим знаки производной на интервалах: - При $0 < x < 81$, например $x=1$: $y'(1) = 27 - 3 = 24 > 0$ (функция возрастает). - При $x > 81$, например $x=100$: $y'(100) = 27 - 3 \cdot 10 = -3 < 0$ (функция убывает). Так как при переходе через точку $x = 81$ производная меняет знак с плюса на минус, эта точка является точкой максимума. **Ответ: 81**