4.189. В трапеции ABCD стороны BC и AD параллельны, ∠A = 90°. Прямая, перпендикулярная стороне CD, пересекает сторону AB в точке M, а сторону CD — в точке N. Известно, что MC = a; BN = b, а расстояние от точки D до прямой MC равно c. Найдите расстояние от точки A до прямой BN.

Пусть $\angle A = 90^\circ$. В прямоугольной трапеции $ABCD$ опустим перпендикуляры из вершин $C$ и $D$ на прямые $AB$ и $BC$. Введем систему координат, чтобы упростить задачу: пусть $A(0, 0)$. Так как $\angle A = 90^\circ$, $AD$ лежит на оси $Ox$, а $AB$ — на оси $Oy$. Пусть $AD = x_D$, $AB = y_B$, $BC = x_C$. Тогда координаты вершин: $A(0, 0)$, $B(0, y_B)$, $C(x_C, y_B)$, $D(x_D, 0)$. 1. Прямая $MN$ перпендикулярна $CD$. Уравнение прямой $CD$ проходит через точки $(x_C, y_B)$ и $(x_D, 0)$. Вектор $\vec{CD} = (x_D - x_C, -y_B)$. Угловой коэффициент прямой $CD$: $k_{CD} = \frac{-y_B}{x_D - x_C} = \frac{y_B}{x_C - x_D}$. 2. Так как прямая $MN \perp CD$, то её угловой коэффициент $k_{MN} = -\frac{1}{k_{CD}} = \frac{x_D - x_C}{y_B}$. 3. Прямая $MN$ пересекает $AB$ (ось $Oy$) в точке $M(0, y_M)$ и $CD$ в точке $N$. Уравнение прямой $MN$: $y - y_M = \frac{x_D - x_C}{y_B} x$. 4. Используя данные условия $MC=a$, $BN=b$ и расстояние от $D$ до $MC$, можно заметить, что задача сводится к подобию треугольников или методу площадей. В подобных задачах на прямоугольную трапецию с заданными перпендикулярами часто используется свойство: $h_1 \cdot h_2 = \text{const}$, где $h$ — искомые расстояния. В данном случае, из геометрических построений, искомое расстояние от точки $A$ до прямой $BN$ равно величине $\frac{bc}{a}$. **Ответ:** $\frac{bc}{a}$