4.175. На основании AC равнобедренного треугольника ABC как на диаметре построена окружность, пересекающая боковую сторону BC в точке D так, что BD:DC = 3:2. Найти площадь треугольника ABC, если AD = 12/sqrt(5).

1. **Анализ условия:** - Треугольник $ABC$ равнобедренный, $AB = BC$. Пусть $AC = 2x$. Так как $AC$ — диаметр, то угол $\angle ADC = 90^\circ$ (угол, опирающийся на диаметр). Значит, $AD$ — высота треугольника $ABC$, проведенная к боковой стороне $BC$. - Дано отношение $BD : DC = 3 : 2$. Пусть $DC = 2k$, тогда $BD = 3k$. Сторона $BC = BD + DC = 5k$. - Так как треугольник равнобедренный ($AB = BC$), то $AB = 5k$. 2. **Использование теоремы Пифагора:** - В прямоугольном треугольнике $ADC$: $AC^2 = AD^2 + DC^2$. - Мы знаем, что $AC = 2x$ (пусть $AC$ — сторона, тогда $AC=2x$ не очень удобно, лучше использовать $AC$ как основание). - По теореме косинусов для $\angle C$ в $\triangle ABC$: $AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C$. - Из $\triangle ADC$: $\cos C = \frac{DC}{AC} = \frac{2k}{AC}$. - Подставим в уравнение: $(5k)^2 = AC^2 + (5k)^2 - 2 \cdot AC \cdot 5k \cdot \frac{2k}{AC}$. - $25k^2 = AC^2 + 25k^2 - 20k^2$. - $AC^2 = 20k^2 \Rightarrow AC = k\sqrt{20} = 2k\sqrt{5}$. 3. **Нахождение $k$:** - В $\triangle ADC$: $AD^2 + DC^2 = AC^2$. - $(\frac{12}{\sqrt{5}})^2 + (2k)^2 = (2k\sqrt{5})^2$. - $\frac{144}{5} + 4k^2 = 20k^2$. - $16k^2 = \frac{144}{5}$. - $k^2 = \frac{144}{5 \cdot 16} = \frac{9}{5}$. - $k = \frac{3}{\sqrt{5}}$. 4. **Вычисление площади:** - $AC = 2k\sqrt{5} = 2 \cdot \frac{3}{\sqrt{5}} \cdot \sqrt{5} = 6$. - Высота $h_b$ к стороне $BC$ это $AD = \frac{12}{\sqrt{5}}$. - $BC = 5k = 5 \cdot \frac{3}{\sqrt{5}} = 3\sqrt{5}$. - Площадь $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{5} \cdot \frac{12}{\sqrt{5}} = \frac{1}{2} \cdot 36 = 18$. **Ответ: 18**