1. 1) Дано: AB = CD. Докажите: MO = NO

Дано: $AB = CD$, $OM \perp AB$, $ON \perp CD$ (где $O$ — центр окружности). Доказательство: 1. Отрезки $OA, OB, OC, OD$ являются радиусами одной и той же окружности, поэтому $OA = OB = OC = OD = R$. 2. Рассмотрим треугольники $\triangle OAB$ и $\triangle OCD$. Они равнобедренные, так как $OA = OB$ и $OC = OD$. 3. В равнобедренных треугольниках $\triangle OAB$ и $\triangle OCD$ проведены высоты $OM$ и $ON$ к основаниям $AB$ и $CD$ соответственно. Высота в равнобедренном треугольнике является и его медианой, поэтому $AM = MB = \frac{1}{2} AB$ и $CN = ND = \frac{1}{2} CD$. 4. Так как по условию $AB = CD$, то и их половины равны: $AM = MB = CN = ND$. 5. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OAM$ и $\triangle OCN$. У них: - $OA = OC$ (радиусы); - $AM = CN$ (половины равных хорд). 6. По теореме Пифагора для $\triangle OAM$: $OM^2 = OA^2 - AM^2$. 7. По теореме Пифагора для $\triangle OCN$: $ON^2 = OC^2 - CN^2$. 8. Так как $OA = OC$ и $AM = CN$, то $OM^2 = ON^2$, откуда $OM = ON$. Ч.т.д.