Дано уравнение 2cos^2 x + 2sin 2x = 3.

Дано уравнение: $2\cos^2 x + 2\sin 2x = 3$ ### а) Решение уравнения 1. Используем формулу понижения степени $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ и формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ (хотя здесь проще привести к однородному уравнению или использовать понижение). Уравнение: $2\cos^2 x + 2\sin 2x = 3$ Заменим $2\cos^2 x$ на $1 + \cos 2x$: $1 + \cos 2x + 2\sin 2x = 3$ $\cos 2x + 2\sin 2x = 2$ Это уравнение вида $a\sin 2x + b\cos 2x = c$. Разделим всё на $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$: $\frac{2}{\sqrt{5}}\sin 2x + \frac{1}{\sqrt{5}}\cos 2x = \frac{2}{\sqrt{5}}$ Пусть $\cos \phi = \frac{2}{\sqrt{5}}$, тогда $\sin \phi = \frac{1}{\sqrt{5}}$. $\sin(2x + \phi) = \frac{2}{\sqrt{5}}$ $2x + \phi = \arcsin\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) + 2\pi k$ или $2x + \phi = \pi - \arcsin\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) + 2\pi k$ *Альтернативный способ (через тангенс половинного угла или просто преобразование): Рассмотрим исходное уравнение: $2\cos^2 x + 4\sin x \cos x = 3(\sin^2 x + \cos^2 x)$ $2\cos^2 x + 4\sin x \cos x - 3\sin^2 x - 3\cos^2 x = 0$ $-3\sin^2 x + 4\sin x \cos x - \cos^2 x = 0$ Разделим на $\cos^2 x$ (так как $\cos x = 0$ не является корнем): $-3\text{tg}^2 x + 4\text{tg} x - 1 = 0$ $3\text{tg}^2 x - 4\text{tg} x + 1 = 0$ Пусть $t = \text{tg} x$. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4 = 2^2$. $t_1 = \frac{4 + 2}{6} = 1$, $t_2 = \frac{4 - 2}{6} = \frac{1}{3}$. 1. $\text{tg} x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ 2. $\text{tg} x = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \text{arctg}\left(\frac{1}{3}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ ### б) Отбор корней на отрезке $[-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}]$ Отрезок соответствует второй и третьей четвертям окружности. 1. Из серии $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$: При $n = -1: x = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}$. Это значение входит в промежуток. При $n = -2: x = \frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{7\pi}{4}$ (вне). 2. Из серии $x = \text{arctg}\left(\frac{1}{3}\right) + \pi k$: При $k = -1: x = \text{arctg}\left(\frac{1}{3}\right) - \pi$. Это значение входит в промежуток (так как $0 < \text{arctg}(1/3) < \frac{\pi}{4}$, то $-\pi < x < -\frac{3\pi}{4}$, что внутри). При $k = -2: x = \text{arctg}\left(\frac{1}{3}\right) - 2\pi$ (вне). **Ответ:** а) $\frac{\pi}{4} + \pi n; \text{arctg}\left(\frac{1}{3}\right) + \pi k, n, k \in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{3\pi}{4}; \text{arctg}\left(\frac{1}{3}\right) - \pi$.