а) Решите уравнение √3 sin 2x + 3 cos 2x = 0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π/2; 3π]

### а) Решение уравнения Дано уравнение: $\sqrt{3} \sin 2x + 3 \cos 2x = 0$ 1. Перенесем $3 \cos 2x$ в правую часть: $\sqrt{3} \sin 2x = -3 \cos 2x$ 2. Разделим обе части на $\sqrt{3} \cos 2x$ (при условии $\cos 2x \neq 0$): $\frac{\sin 2x}{\cos 2x} = -\frac{3}{\sqrt{3}}$ 3. Получаем: $\text{tg } 2x = -\sqrt{3}$ 4. Решаем простейшее уравнение: $2x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z}$ $x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, \, n \in \mathbb{Z}$ ### б) Отбор корней на отрезке $[\frac{3\pi}{2}; 3\pi]$ Имеем корни $x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$. Проверим значения $n$: - При $n=3$: $x = -\frac{\pi}{6} + \frac{3\pi}{2} = -\frac{\pi}{6} + \frac{9\pi}{6} = \frac{8\pi}{6} = \frac{4\pi}{3} \approx 1.33\pi$ (не входит в отрезок, так как $1.33 < 1.5$) - При $n=4$: $x = -\frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{2} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6} \approx 1.83\pi$ (входит в отрезок $[1.5\pi; 3\pi]$) - При $n=5$: $x = -\frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{2} = -\frac{\pi}{6} + \frac{15\pi}{6} = \frac{14\pi}{6} = \frac{7\pi}{3} \approx 2.33\pi$ (входит в отрезок) - При $n=6$: $x = -\frac{\pi}{6} + \frac{6\pi}{2} = -\frac{\pi}{6} + 3\pi = \frac{17\pi}{6} \approx 2.83\pi$ (входит в отрезок) - При $n=7$: $x = -\frac{\pi}{6} + \frac{7\pi}{2} = -\frac{\pi}{6} + \frac{21\pi}{6} = \frac{20\pi}{6} = \frac{10\pi}{3} \approx 3.33\pi$ (не входит в отрезок, так как $3.33 > 3$) **Ответ:** а) $x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{11\pi}{6}; \frac{7\pi}{3}; \frac{17\pi}{6}$.