Решите уравнение: а) 3x+1 / x+2 - x-1 / x-2 = 1;

Решим уравнения по порядку. а) $\frac{3x + 1}{x + 2} - \frac{x - 1}{x - 2} = 1$ Общий знаменатель: $(x+2)(x-2) = x^2 - 4$. ОДЗ: $x \neq \pm 2$. $(3x+1)(x-2) - (x-1)(x+2) = x^2 - 4$ $(3x^2 - 6x + x - 2) - (x^2 + 2x - x - 2) = x^2 - 4$ $3x^2 - 5x - 2 - x^2 - x + 2 = x^2 - 4$ $2x^2 - 6x = x^2 - 4$ $x^2 - 6x + 4 = 0$ $D = 36 - 16 = 20$ $x = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5}$. б) $\frac{2y - 2}{y + 3} + \frac{y + 3}{y - 3} = 5$ Общий знаменатель: $y^2 - 9$. ОДЗ: $y \neq \pm 3$. $(2y-2)(y-3) + (y+3)^2 = 5(y^2-9)$ $(2y^2 - 6y - 2y + 6) + (y^2 + 6y + 9) = 5y^2 - 45$ $3y^2 - 2y + 15 = 5y^2 - 45$ $2y^2 + 2y - 60 = 0$ $y^2 + y - 30 = 0$ По теореме Виета: $y = -6$ или $y = 5$. в) $\frac{4}{9y^2 - 1} - \frac{4}{3y + 1} = \frac{5}{1 - 3y}$ ОДЗ: $y \neq \pm \frac{1}{3}$. Преобразуем знаменатель: $1-3y = -(3y-1)$. $\frac{4}{(3y-1)(3y+1)} - \frac{4}{3y+1} = -\frac{5}{3y-1}$ Умножим на $(3y-1)(3y+1)$: $4 - 4(3y-1) = -5(3y+1)$ $4 - 12y + 4 = -15y - 5$ $3y = -13$ $y = -\frac{13}{3} = -4\frac{1}{3}$. г) $\frac{4}{x + 3} - \frac{5}{3 - x} = \frac{1}{x - 3} - 1$ Заметим, что $3-x = -(x-3)$. $\frac{4}{x+3} + \frac{5}{x-3} = \frac{1}{x-3} - 1$ $\frac{4}{x+3} + \frac{4}{x-3} = -1$ $4(x-3) + 4(x+3) = -(x^2-9)$ $4x - 12 + 4x + 12 = -x^2 + 9$ $x^2 + 8x - 9 = 0$ Корни: $x = 1, x = -9$. д) $\frac{3}{x} + \frac{4}{x - 1} = \frac{5 - x}{x^2 - x}$ ОДЗ: $x \neq 0, x \neq 1$. Заметим $x^2-x = x(x-1)$. $3(x-1) + 4x = 5-x$ $3x - 3 + 4x = 5 - x$ $8x = 8 \Rightarrow x=1$. Но $x=1$ не входит в ОДЗ. Ответ: корней нет. е) $\frac{3y - 2}{y} - \frac{1}{y - 2} = \frac{3y + 4}{y^2 - 2y}$ ОДЗ: $y \neq 0, y \neq 2$. Умножим на $y(y-2)$: $(3y-2)(y-2) - y = 3y+4$ $3y^2 - 6y - 2y + 4 - y = 3y+4$ $3y^2 - 12y = 0$ $3y(y - 4) = 0$ $y=0$ (не подходит по ОДЗ) или $y=4$. Ответ: $y=4$.