а) Решите уравнение √2 sin 2x + 4 cos^2 (3π/8 + x) = 2 + √2.

Давай решим это тригонометрическое уравнение. ### а) Решение уравнения Исходное уравнение: $\sqrt{2} \sin 2x + 4 \cos^2 \left( \frac{3\pi}{8} + x \right) = 2 + \sqrt{2}$ 1. Используем формулу понижения степени: $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$. Применим её к слагаемому $4 \cos^2 \left( \frac{3\pi}{8} + x \right)$: $4 \cdot \frac{1 + \cos(2(\frac{3\pi}{8} + x))}{2} = 2(1 + \cos(\frac{3\pi}{4} + 2x)) = 2 + 2 \cos(\frac{3\pi}{4} + 2x)$ 2. Подставим обратно в уравнение: $\sqrt{2} \sin 2x + 2 + 2 \cos(\frac{3\pi}{4} + 2x) = 2 + \sqrt{2}$ 3. Вычтем 2 из обеих частей: $\sqrt{2} \sin 2x + 2 \cos(\frac{3\pi}{4} + 2x) = \sqrt{2}$ 4. Раскроем косинус суммы по формуле $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$: $\cos(\frac{3\pi}{4} + 2x) = \cos \frac{3\pi}{4} \cos 2x - \sin \frac{3\pi}{4} \sin 2x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \cos 2x - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin 2x$ 5. Умножим на 2: $2 \cos(\frac{3\pi}{4} + 2x) = -\sqrt{2} \cos 2x - \sqrt{2} \sin 2x$ 6. Подставим это выражение в уравнение: $\sqrt{2} \sin 2x - \sqrt{2} \cos 2x - \sqrt{2} \sin 2x = \sqrt{2}$ 7. Сократим $\sqrt{2} \sin 2x$: $-\sqrt{2} \cos 2x = \sqrt{2}$ 8. Разделим на $-\sqrt{2}$: $\cos 2x = -1$ 9. Решим простейшее уравнение: $2x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ ### б) Отбор корней на отрезке $[\pi; \frac{5\pi}{2}]$ Проверим значения: - При $k=0: x = \frac{\pi}{2} = 0,5\pi$ (не входит) - При $k=1: x = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2} = 1,5\pi$ (входит, так как $\pi \le 1,5\pi \le 2,5\pi$) - При $k=2: x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2} = 2,5\pi$ (входит, так как $\pi \le 2,5\pi \le 2,5\pi$) **Ответ:** а) $\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}$.