Дано уравнение 2cos^2x + 2sin2x = 3.

а) Решим уравнение $2\cos^2 x + 2\sin 2x = 3$. 1. Используем формулы понижения степени и двойного угла: $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ Уравнение принимает вид: $2 \cdot \frac{1 + \cos 2x}{2} + 2\sin 2x = 3$ $1 + \cos 2x + 2\sin 2x = 3$ $\cos 2x + 2\sin 2x = 2$ Используем универсальную тригонометрическую подстановку или метод вспомогательного угла. Однако проще заметить, что $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ и $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ не приводят к простому решению. Давайте преобразуем: $\cos 2x + 2\sin 2x = 2$ $ \sqrt{1^2 + 2^2} \left( \frac{1}{\sqrt{5}}\cos 2x + \frac{2}{\sqrt{5}}\sin 2x \right) = 2 $ $\sqrt{5} \sin(2x + \phi) = 2$, где $\cos \phi = \frac{2}{\sqrt{5}}$, $\sin \phi = \frac{1}{\sqrt{5}}$. $\sin(2x + \phi) = \frac{2}{\sqrt{5}}$. Второй способ (алгебраический): $2\cos^2 x + 4\sin x \cos x = 3(\sin^2 x + \cos^2 x)$ $2\cos^2 x + 4\sin x \cos x = 3\sin^2 x + 3\cos^2 x$ $3\sin^2 x - 4\sin x \cos x + \cos^2 x = 0$ Разделим на $\cos^2 x$ (при $\cos x \neq 0$): $3\operatorname{tg}^2 x - 4\operatorname{tg} x + 1 = 0$ Пусть $t = \operatorname{tg} x$: $3t^2 - 4t + 1 = 0$ Дискриминант $D = 16 - 12 = 4 = 2^2$. $t_1 = \frac{4+2}{6} = 1$, $t_2 = \frac{4-2}{6} = \frac{1}{3}$. Корни: 1) $\operatorname{tg} x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. 2) $\operatorname{tg} x = \frac{1}{3} \implies x = \operatorname{arctg} \frac{1}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. б) Отбор корней на $[-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}]$: 1) $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$. Для $n = -1$: $x = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}$. Это значение лежит в промежутке. 2) $x = \operatorname{arctg} \frac{1}{3} + \pi k$. Для $k = -1$: $x = \operatorname{arctg} \frac{1}{3} - \pi$. Так как $0 < \operatorname{arctg} \frac{1}{3} < \frac{\pi}{4}$, то $-\pi < \operatorname{arctg} \frac{1}{3} - \pi < -\frac{3\pi}{4}$. Значение лежит в промежутке. Ответ: а) $\frac{\pi}{4} + \pi n; \operatorname{arctg} \frac{1}{3} + \pi k, n, k \in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{3\pi}{4}; \operatorname{arctg} \frac{1}{3} - \pi$.