5. (2 балла) Найдите производную функции.

5. Найдем производные: 1) $f'(x) = (2x - 3x^5 - 4)' = 2 - 15x^4$ 2) Используем правило производной частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u = x^3$, $v = \sin x$: $f'(x) = \frac{(x^3)' \cdot \sin x - x^3 \cdot (\sin x)'}{\sin^2 x} = \frac{3x^2 \sin x - x^3 \cos x}{\sin^2 x}$ 6. Найдем первообразные: 1) $F(x) = \int (-4x^3 + \frac{2}{x} + 1) dx = -x^4 + 2\ln|x| + x + C$ 2) $F(x) = \int (-2e^x - \sin x) dx = -2e^x + \cos x + C$ 7. 700 рублей / 16 рублей в день = 43,75 дней. Поскольку списание происходит каждый вечер, на 44-й день остаток будет меньше 16 рублей. Значит, она сможет пользоваться телефоном 43 полных дня. **Ответ: 43 дня.** 8. Правильная треугольная пирамида. Сторона основания $a = 12$, боковое ребро $b = 10$. Радиус описанной окружности около основания $R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$. Высота пирамиды $H = \sqrt{b^2 - R^2} = \sqrt{100 - 48} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$. Апофема боковой грани $L = \sqrt{H^2 + r^2}$, где $r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$. $L = \sqrt{52 + 12} = \sqrt{64} = 8$. Площадь боковой поверхности $S_{бок} = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot L = 3 \cdot 6 \cdot 8 = 144$. Площадь основания $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{144\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}$. $S_{полн} = 144 + 36\sqrt{3} \approx 206,35$ см$^2$. 9. По условию, прямая проходит через середину оси цилиндра ($O_1$) и пересекает нижнее основание на расстоянии 12 от центра ($O_2$). Это образует прямоугольный треугольник с катетами $H/2$ и 12. Также прямая пересекает образующую на расстоянии 2 от нижнего основания. Подобные треугольники: $\frac{H/2}{12} = \frac{2}{R_{цил} - x}$. Поскольку прямая проходит через центр, $x$ - это расстояние от центра до образующей, т.е. $x=8$. Но это геометрическая задача на сечение, где используется подобие: $\frac{H/2}{12} = \frac{H-2}{8}$. $4H = 12H - 24 \Rightarrow 8H = 24 \Rightarrow H = 3$. **Ответ: 3 см.** 10. Система: $\begin{cases} 5x + 3y = 0 \\ \frac{5}{y} + x = 3 \end{cases}$ Из 1-го: $3y = -5x \Rightarrow y = -\frac{5}{3}x$. Подставим во 2-е: $\frac{5}{-5/3 x} + x = 3 \Rightarrow -\frac{3}{x} + x = 3 \Rightarrow x^2 - 3x - 3 = 0$. $D = 9 - 4(1)(-3) = 21$. $x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{2}$. $y = -\frac{5}{3}x = -\frac{5}{3} \cdot \frac{3 \pm \sqrt{21}}{2} = \frac{-5 \mp 5\sqrt{21}/3}{2}$. 11. Площадь фигуры $f(x) = 2x - x^2$. Корни $2x - x^2 = 0 \Rightarrow x(2-x)=0$, корни 0 и 2. $S = \int_0^2 (2x - x^2) dx = [x^2 - \frac{x^3}{3}]_0^2 = (4 - \frac{8}{3}) = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$. **Ответ: 4/3.**