Упростите выражение (\sqrt{15}+\sqrt{6})\sqrt{3}/3 - 3/(\sqrt{5}-\sqrt{2})

### Задание 1. Упростите выражение 1) $\frac{(\sqrt{15}+\sqrt{6})\sqrt{3}}{3} - \frac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$ Разберем по частям: - Первая дробь: $\frac{\sqrt{15} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{6} \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{45} + \sqrt{18}}{3} = \frac{3\sqrt{5} + 3\sqrt{2}}{3} = \sqrt{5} + \sqrt{2}$. - Вторая дробь (избавимся от иррациональности в знаменателе): $\frac{3(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})} = \frac{3(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{5-2} = \frac{3(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{3} = \sqrt{5} + \sqrt{2}$. Вычитаем: $(\sqrt{5} + \sqrt{2}) - (\sqrt{5} + \sqrt{2}) = 0$. **Ответ: 0.** ### Задание 2. Наибольшее натуральное число, не превосходящее $(1 - \sqrt{3})^2 + \sqrt{7 + 4\sqrt{3}}$ 1) $(1 - \sqrt{3})^2 = 1 - 2\sqrt{3} + 3 = 4 - 2\sqrt{3}$. 2) $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{7 + 2\sqrt{12}}$. Ищем вид $\sqrt{a} + \sqrt{b}$. Числа, сумма которых 7, произведение 12 — это 4 и 3. Значит, $\sqrt{4} + \sqrt{3} = 2 + \sqrt{3}$. Складываем: $(4 - 2\sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3}) = 6 - \sqrt{3}$. Так как $\sqrt{3} \approx 1{,}73$, то $6 - 1{,}73 = 4{,}27$. Наибольшее натуральное число, не превосходящее это значение — 4. **Ответ: 4.** ### Задание 3 а) Сумма всех натуральных чисел, кратных 3, от 152 до 721. Это числа 153, 156, ..., 720. Количество членов: $n = \frac{720 - 153}{3} + 1 = \frac{567}{3} + 1 = 189 + 1 = 190$. Сумма: $S = \frac{153 + 720}{2} \cdot 190 = 873 \cdot 95 = 82935$. б) Всего четырёхзначных чисел: $9999 - 1000 + 1 = 9000$. Числа, в которых НЕТ ни одной чётной цифры (все цифры нечётные: 1, 3, 5, 7, 9). Всего таких чисел: $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625$. Числа с хотя бы одной чётной цифрой: $9000 - 625 = 8375$. **Ответ: а) 82935; б) 8375.** ### Задание 4 а) $x^3 - 12 + 2x^2 - 6x = 0$ $x^3 + 2x^2 - 6x - 12 = 0$ $x^2(x + 2) - 6(x + 2) = 0$ $(x^2 - 6)(x + 2) = 0$ $x^2 = 6 \Rightarrow x = \pm\sqrt{6}$ или $x = -2$. б) $(x^2 - 2x + 1)^3 - 5(x - 1)^2 + 4 = 0$ $((x-1)^2)^3 - 5(x-1)^2 + 4 = 0$ Пусть $t = (x-1)^2$, $t \ge 0$. $t^3 - 5t + 4 = 0$. Заметим корень $t=1$: $1-5+4=0$. $(t-1)(t^2 + t - 4) = 0$. $t_1 = 1 \Rightarrow (x-1)^2 = 1 \Rightarrow x-1 = \pm 1 \Rightarrow x=2, x=0$. $t^2 + t - 4 = 0$. $D = 1 - 4(-4) = 17$. $t = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$. Так как $t \ge 0$, подходит только $t = \frac{\sqrt{17}-1}{2}$. $(x-1)^2 = \frac{\sqrt{17}-1}{2} \Rightarrow x = 1 \pm \sqrt{\frac{\sqrt{17}-1}{2}}$. **Ответ: а) $\pm\sqrt{6}, -2$; б) $0, 2, 1 \pm \sqrt{\frac{\sqrt{17}-1}{2}}$.** ### Задание 5 а) $y = -\frac{2}{3}|x-3| + |x-2|$. Раскроем модули по интервалам: - При $x < 2$: $y = -\frac{2}{3}(-(x-3)) + (-(x-2)) = \frac{2}{3}x - 2 - x + 2 = -\frac{1}{3}x$. - При $2 \le x < 3$: $y = -\frac{2}{3}(-(x-3)) + x - 2 = -\frac{2}{3}(-x+3) + x - 2 = \frac{2}{3}x - 2 + x - 2 = \frac{5}{3}x - 4$. - При $x \ge 3$: $y = -\frac{2}{3}(x-3) + x - 2 = -\frac{2}{3}x + 2 + x - 2 = \frac{1}{3}x$. б) Пересечение с осями: - $OY (x=0)$: $y = -\frac{1}{3}(0) = 0$. Точка $(0;0)$. - $OX (y=0)$: $0 = -\frac{1}{3}x \Rightarrow x=0$; $0 = \frac{5}{3}x - 4 \Rightarrow x = 2{,}4$ (не входит в интервал); $0 = \frac{1}{3}x \Rightarrow x=0$. **Ответ: (0;0).** ### Задание 6 $x^2 - (b+1)x + b = 0$. Уравнение можно разложить: $(x-b)(x-1) = 0$. Корни $x_1 = 1$, $x_2 = b$. а) Ровно два корня: $b \neq 1$. б) Два различных положительных корня: $b > 0$ и $b \neq 1$. **Ответ: а) $b \neq 1$; б) $b \in (0; 1) \cup (1; +\infty)$.** ### Задание 7 Равнобедренный треугольник, стороны 5, 5, 8. Высота на основание $h = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$. а) Высота на основание: 3. б) Площадь $S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 = 12$. Высота $h_b$ на боковую сторону: $S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot h_b = 12 \Rightarrow h_b = 4{,}8$. в) Радиус вписанной окружности $r = \frac{S}{p}$, где $p = (5+5+8)/2 = 9$. $r = 12/9 = 4/3$. **Ответ: а) 3; б) 4,8; в) 4/3.** ### Задание 8 $ABCD$ прямоугольник, $AB=3$. $\triangle AKM$ — ромб ($AK=KM=MA$). Т.к. $ABCD$ — прямоугольник, $AB \parallel CD$, значит $\angle MAK = \angle AKM$ (накрест лежащие при $AB \parallel DM$? нет, $M$ на $CD$). Так как $AKCM$ — ромб, то $AK \parallel CM$ и $AK=KM=CM=MA$. Треугольник $AKM$ равносторонний? Нет, углы. $\angle BAC = 30^\circ$. $\triangle ABC$ прямоугольный, $AB=3$, $\angle A = 30^\circ$. $BC = AB \cdot \operatorname{tg} 30^\circ = 3 / \sqrt{3} = \sqrt{3}$. **Ответ: а) $\sqrt{3}$; б) сторона ромба $AK = AB/\cos 30^\circ = 3 / (\sqrt{3}/2) = 2\sqrt{3}$.** ### Задание 9 Сумма сыгранных партий равна $2 \cdot ( ext{количество партий между ними})$. Она должна быть четной (каждая партия дает +1 каждому из двоих). Сумма партий $40 + 26 + x$ должна быть чётной. а) $40+26+24 = 90$ (чётное). Возможно. б) $40+26+25 = 91$ (нечётное). Невозможно. в) $40+26+68 = 134$ (чётное). Возможно. **Ответ: а) Да; б) Нет; в) Да.**