38. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка O – центр основания, S – вершина, SO=42, SA=58. Найдите длину отрезка BD.

### Решение задачи 38 1. В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ основанием является квадрат, а точка $O$ — это точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. 2. Высота пирамиды $SO$ перпендикулярна плоскости основания, поэтому $\triangle SOA$ — прямоугольный (угол $\angle SOA = 90^\circ$). 3. По теореме Пифагора для $\triangle SOA$ найдем отрезок $AO$: $AO^2 + SO^2 = SA^2$ $AO^2 + 42^2 = 58^2$ $AO^2 + 1764 = 3364$ $AO^2 = 3364 - 1764 = 1600$ $AO = \sqrt{1600} = 40$. 4. В квадрате $ABCD$ диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому $BD = AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot 40 = 80$. **Ответ: 80.** ### Решение задачи 49 1. Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, где основание равно диаметру ($D = 56$), а боковые стороны равны образующей ($l = 53$). Высота конуса $h$ делит основание пополам, образуя два прямоугольных треугольника. 2. Катет (радиус основания) $r = D / 2 = 56 / 2 = 28$. 3. По теореме Пифагора находим высоту $h$: $h^2 + r^2 = l^2$ $h^2 + 28^2 = 53^2$ $h^2 + 784 = 2809$ $h^2 = 2809 - 784 = 2025$ $h = \sqrt{2025} = 45$. **Ответ: 45.** ### Решение задачи 50 1. Осевое сечение конуса — это треугольник с основанием, равным диаметру ($D = 32$), и высотой, равной высоте конуса ($h$). 2. Радиус основания $r = D / 2 = 32 / 2 = 16$. Образующая $l = 34$. 3. Найдем высоту $h$ по теореме Пифагора: $h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{34^2 - 16^2} = \sqrt{1156 - 256} = \sqrt{900} = 30$. 4. Площадь треугольника (осевого сечения) $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot 30 = 16 \cdot 30 = 480$. **Ответ: 480.**