4.266. (Т) В треугольник вписан круг. Прямые, соединяющие центр круга с вершинами, делят площадь треугольника на части с площадями 4, 13 и 15 см^2. Найти стороны треугольника.

Пусть вершины треугольника — $A, B, C$, а их стороны, противолежащие этим вершинам — $a, b, c$ соответственно. Центр вписанной окружности — точка $O$. Радиус вписанной окружности — $r$. Отрезки $AO, BO, CO$ делят треугольник $ABC$ на три треугольника: $BOC, AOC, AOB$. Площади этих треугольников выражаются через стороны и радиус $r$: $S_{BOC} = \frac{1}{2} a r = 13$ (здесь примем 13 для стороны $a$) $S_{AOC} = \frac{1}{2} b r = 15$ (здесь примем 15 для стороны $b$) $S_{AOB} = \frac{1}{2} c r = 4$ (здесь примем 4 для стороны $c$) Сумма площадей этих трех треугольников равна полной площади треугольника $ABC$: $S = 13 + 15 + 4 = 32 \text{ см}^2$. Также площадь треугольника $S$ через полупериметр $p$ и радиус $r$ равна $S = pr = \frac{a+b+c}{2} \cdot r = 32$. Выразим $r$ из суммы площадей: $r = \frac{2S_{BOC}}{a} = \frac{26}{a} = \frac{2S_{AOC}}{b} = \frac{30}{b} = \frac{2S_{AOB}}{c} = \frac{8}{c}$. То есть $a = \frac{26}{r}, b = \frac{30}{r}, c = \frac{8}{r}$. Подставим в формулу полупериметра: $p = \frac{\frac{26}{r} + \frac{30}{r} + \frac{8}{r}}{2} = \frac{64}{2r} = \frac{32}{r}$. Используем формулу Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$. $32 = \sqrt{\frac{32}{r} (\frac{32-26}{r}) (\frac{32-30}{r}) (\frac{32-8}{r})}$ $32 = \sqrt{\frac{32}{r} \cdot \frac{6}{r} \cdot \frac{2}{r} \cdot \frac{24}{r}}$ $32 = \sqrt{\frac{32 \cdot 6 \cdot 2 \cdot 24}{r^4}} = \sqrt{\frac{9216}{r^4}} = \frac{96}{r^2}$. $r^2 = \frac{96}{32} = 3 \Rightarrow r = \sqrt{3}$. Теперь найдем стороны: $a = \frac{26}{\sqrt{3}} = \frac{26\sqrt{3}}{3} \text{ см}$. $b = \frac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3} \text{ см}$. $c = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \text{ см}$. **Ответ:** $\frac{26\sqrt{3}}{3}, 10\sqrt{3}, \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.