Найти длину кривой, заданной параметрическими уравнениями x(t) = cos^3 t, y(t) = sin^3 t, 0 <= t <= pi/2.

Для решения задачи воспользуемся формулой длины кривой в параметрическом виде: $L = \int_{a}^{b} \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} \, dt$ 1. Найдем производные $x(t)$ и $y(t)$ по $t$: $x'(t) = 3 \cos^2 t \cdot (-\sin t) = -3 \cos^2 t \sin t$ $y'(t) = 3 \sin^2 t \cdot (\cos t) = 3 \sin^2 t \cos t$ 2. Вычислим сумму квадратов производных: $(x'(t))^2 + (y'(t))^2 = (-3 \cos^2 t \sin t)^2 + (3 \sin^2 t \cos t)^2 = 9 \cos^4 t \sin^2 t + 9 \sin^4 t \cos^2 t$ Вынесем общий множитель $9 \sin^2 t \cos^2 t$: $= 9 \sin^2 t \cos^2 t (\cos^2 t + \sin^2 t)$ Так как $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, получаем: $= 9 \sin^2 t \cos^2 t$ 3. Корень из выражения: $\sqrt{9 \sin^2 t \cos^2 t} = 3 |\sin t \cos t|$ На отрезке $[0, \pi/2]$ синус и косинус неотрицательны, поэтому модуль можно опустить: $= 3 \sin t \cos t$ 4. Вычислим интеграл: $L = \int_{0}^{\pi/2} 3 \sin t \cos t \, dt$ Воспользуемся формулой двойного угла $2 \sin t \cos t = \sin 2t$, значит $\sin t \cos t = \frac{1}{2} \sin 2t$: $L = \int_{0}^{\pi/2} 3 \cdot \frac{1}{2} \sin 2t \, dt = \frac{3}{2} \int_{0}^{\pi/2} \sin 2t \, dt$ $= \frac{3}{2} \cdot \left[ -\frac{\cos 2t}{2} \right]_{0}^{\pi/2} = -\frac{3}{4} (\cos \pi - \cos 0) = -\frac{3}{4} (-1 - 1) = -\frac{3}{4} \cdot (-2) = 1.5$ **Ответ: 1.5** :::div .chart-container @chart-1:::