Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 10см и 8 см, боковое ребро равно 12см. Найдите объем призмы.

17. Площадь основания $S_{осн}$ прямоугольного треугольника с катетами $a=10$ см и $b=8$ см равна $S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 8 = 40$ см$^2$. Объем призмы $V = S_{осн} \cdot h$, где $h=12$ см — боковое ребро. $V = 40 \cdot 12 = 480$ см$^3$. 18. Радиус основания $r=6$, высота $h=8$. Образующая конуса $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$. Площадь полной поверхности $S = \pi r (r + l) = \pi \cdot 6 \cdot (6 + 10) = 6 \cdot 16 \pi = 96\pi$. 19. Площадь поверхности шара $S = 4\pi R^2$. Сумма площадей двух шаров $S_{sum} = 4\pi R_1^2 + 4\pi R_2^2 = 4\pi (18^2 + 24^2) = 4\pi (324 + 576) = 4\pi (900) = 3600\pi$. Искомый радиус $R$ удовлетворяет $4\pi R^2 = 3600\pi$, значит $R^2 = 900$, $R=30$ см. 20. Если цилиндр описан около шара, то высота цилиндра $H = 2R$, а радиус основания цилиндра равен радиусу шара $r=R$. Объем цилиндра $V_{цил} = \pi R^2 H = \pi R^2 (2R) = 2\pi R^3$. Объем шара $V_{шар} = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{2}{3} (2\pi R^3) = \frac{2}{3} V_{цил}$. Подставим $V_{цил} = 267$: $V_{шар} = \frac{2}{3} \cdot 267 = 2 \cdot 89 = 178$ см$^3$.