Найдите количество чисел, являющихся одновременно членами двух арифметических прогрессий {3, 6, 9,...} и {2, 6, 10,...}, если в первой 463 члена, а во второй 351 член.

Question

Вопрос:

Найдите количество чисел, являющихся одновременно членами двух арифметических прогрессий {3, 6, 9,...} и {2, 6, 10,...}, если в первой 463 члена, а во второй 351 член.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для решения задачи найдем общий член обеих прогрессий. 1. Первая прогрессия: $a_n = 3 + (n-1) \cdot 3 = 3n$. Последний член: $a_{463} = 3 \cdot 463 = 1389$. 2. Вторая прогрессия: $b_m = 2 + (m-1) \cdot 4 = 4m - 2$. Последний член: $b_{351} = 4 \cdot 351 - 2 = 1404 - 2 = 1402$. 3. Число $x$ является общим членом, если $x = 3n$ и $x = 4m - 2$. Значит, $3n = 4m - 2$, откуда $3n \equiv -2 \pmod 4$, то есть $3n \equiv 2 \pmod 4$. Это эквивалентно $-n \equiv 2 \pmod 4$, или $n \equiv -2 \equiv 2 \pmod 4$. Значит, $n$ должно быть вида $4k + 2$. Тогда $x = 3(4k + 2) = 12k + 6$. 4. Найдем ограничения для $x$: $x \le 1389$ и $x \le 1402$. Значит, $x \le 1389$. $12k + 6 \le 1389 \Rightarrow 12k \le 1383 \Rightarrow k \le 115,25$. Так как $k$ — целое неотрицательное число ($k=0, 1, 2, \dots$), то $k$ принимает значения от $0$ до $115$. Количество значений равно $115 - 0 + 1 = 116$. **Ответ: 116**

Найдите количество чисел, являющихся одновременно членами двух арифметических прогрессий {3, 6, 9,...} и {2, 6, 10,...}, если в первой 463 члена, а во второй 351 член.

Ответ ассистента

Другие решения